【集中力】大幅アップの勉強タイマー

[中2数学]図形の性質を見つけて証明しよう

今回は中2で習う図形の性質の証明について解説します。

証明の問題は苦手な生徒さんが多く、受験にも出てくる重要な単元になりますので、しっかり理解しておきましょう。

このページに図形の証明の重要事項をまとめています。

テスト前などにもぜひご活用ください!

目次

三角形

二等辺三角形の性質

言葉の意味をはっきり述べたものを「定義」といいます。

証明された事柄のうち大切なものを「定理」といいます。角度を求めたり、図形の証明をするときに使います。

定義

二等辺三角形は次のように定義します。

定義:2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。

二等辺三角形で、長さの等しい2つの辺の間の角を「頂角」、頂角に対する辺を「底辺」、底辺の両端の角を「定角」といいます。

二等辺三角形の定義

定理

二等辺三角形には次の2つの性質があります。

定理1:二等辺三角形の底角は等しい。

二等辺三角形の性質1:

定理2:二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する。

二等辺三角形の性質2:二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する

例)

二等辺三角形になるための条件

定理:三角形の2つの角が等しければ、その三角形は等しい2つの角を底角とする二等辺三角形である。

例)

二等辺三角形ABCで、底角∠B,∠Cのそれぞれの二等分線を引き、その交点をPとする。

このとき、△PBCは二等辺三角形になることを証明せよ。

証明)

直角三角形の合同

直角三角形の直角に対する辺を「斜辺」といいます。

直角三角形では「三角形の合同条件」のほかに、次の合同条件が使えます。

定理:2つの直角三角形は次のどちらかが成り立つとき合同である。

1.斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。

2.斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

詳しくはこちら!

例)

証明)

△POQと△PORにおいて、仮定より

∠POQ=∠POR ・・・①

∠PQO=∠PRO=90°・・・②

共通な辺であるから

PO=PO ・・・③

①,②,③より

直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから

△POQ≡△POR

よって、PQ=PR (終)

平行四辺形

平行四辺形の性質

四角形の向かい合う辺を「対辺」、向かい合う角を「対角」といいます。

平行四辺形の定義は次の通りです。

定義:2組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。

平行四辺形の性質は次の3つです。

定理1: 2組の対辺はそれぞれ等しい。

定理2: 2組の対角はそれぞれ等しい。

定理3: 対角線はそれぞれの中点で交わる。

四角形が平行四辺形になるための条件は次の5つです。どれか1つが成り立てばその四角形は平行四辺形です。

定理1:2組の対辺がそれぞれ平行である。(定義)

定理2:2組の対辺がそれぞれ等しい。

定理3:2組の対角がそれぞれ等しい。

定理4:対角線がそれぞれの中点で交わる。

定理5:1組の対辺が平行でその長さが等しい。

例)

下の図のように▱ABCDの辺AD,BCの延長線上に、AE=CFとなる点E,Fをとります。

このとき、四角形EBFDは平行四辺形であることを証明せよ。

証明)

仮定より、AE=CF ・・・①

▱ABCDの対辺は等しいから、AD=BC ・・・②

①,②よりAE+AD=CF+BC

よって、ED=BF ・・・③

▱ABCDの対辺は平行であるからAD//BC

よって、ED//BF ・・・④

③,④より、1組の対辺が平行でその長さが等しいから

四角形EBFDは平行四辺形である。 (終)

特別な平行四辺形

〇長方形

定義:4つの角がすべて等しい四角形は長方形である。

定理:対角線は等しい。

〇正方形

定義:4つの角がすべて等しく、4つの辺がすべて等しい四角形は正方形である。

定理:対角線は等しく、垂直に交わる。

〇ひし形

定義:4つの辺がすべて等しい四角形はひし形である。

定理:対角線は垂直に交わる。

平行線と面積

一組の平行線があるとき、一方の直線上の2点から他の直線に引いた2つの垂線の長さは等しいです。

このことから、下の図のような底辺BCを共有し、BCに平行な直線l上に頂点を持つ

△ABC,△DBC,△EBCは、高さが等しいので面積も等しくなります。

例)

コメント

コメントする

目次