連立方程式の利用｜割合の問題の解き方
連立方程式は、わかっていない2つの数字を求めることができる式です。
文章題の場合は「求めたい数字」がなにかを正しく理解する必要が出てくるのです。
例えば『定価の合計が5400円になるシャツとジャケットを買います。しかし、シャツを30%OFFで、ジャケットを10%OFFで購入することができました。このとき、シャツとジャケットを買った合計は4460円でした。シャツとジャケットの定価はいくらでしょうか？』
この問題では、「シャツの定価」「ジャケットの定価」を求める必要があります。
これらをそれぞれ\(x,\ y\)として式を作ります。
式を作る際に、割合を式でどのように表現するかが問題を正しく解く鍵となります。
こちらの例の答えは、記事を読んだ後に解いてみてください！
解けたらコメント欄で教えてくださいね。採点させていただきますー
今回の記事では、割合の書き方に注目しながら解説をしていきます。
連立方程式の利用｜割合の問題1
問題
ある中学校で、昨年の全校生徒の人数は520人でした。今年の男子の人数は10%増えて、女子の人数は12%減ったので、全体の人数は14人減りました。今年の男子の人数と女子の人数を求めなさい。
解答
今年の男子生徒の人数は242人、女子生徒の人数は264人が正解となります。
解説
ここで求める必要があるのは、「昨年の男子の人数」と「昨年の女子の人数」です。
それぞれXとYとします。
それにより今年の男子の人数、女子の人数を式で表現できるようになるからです。
1つ目の式は昨年の全校生徒の人数を使い、
①\(x+y=520\)となります。
続いて2つ目の式ですが、この式を作る際に気をつけるべきことがあります。
問題文に今年の全校生徒の人数は書かれていないのですが、「全体の人数は14人減りました」とあります。
ここから今年の全校生徒は506人であることが分かります。
また、割合が百分率で表現されているときは、分数で考えてみることをおすすめします。
1%の場合は1/100という書き換えができます。
この問題の「10%増えた男子の人数」のとき、今年の男子の人数はXの110%（110/100=1.1）という考え方になります。
「12%減った女子生徒の人数」のときは、Yの88%（100%-12%）と考えられ、88%は88/100（0.88）と表現できます。
よって、$$②\ 1.1x\left(\displaystyle \frac{110}{100}x\right)+0.88y\left(\displaystyle \frac{88}{100}y\right)=506(520-14)$$となります。
式をまとめると
①\(x+y=520\)
②\(1.1x+0.88y=506\)となります。
\begin{aligned}\begin{cases}x+y=520\\ 1.1x+0.88y=506\end{cases}\\ 1.1x+1.1 y=572\\ \dfrac{-(1.1x+0.88y)=-506}{0.22y=66}\\ y=300\\ x+300=520\\ x=520-300\\ x=220\end{aligned}
よって、
今年の男子生徒の人数は242人、女子生徒の人数は264人
である。
連立方程式の利用｜割合の問題2
問題
定価の合計が940円になるカツ丼とサラダを注文したところ、カツ丼は2割引でサラダは1割引になっており、合計が766円になりました。カツ丼定価とサラダの定価を求めなさい。
解答
カツ丼の定価800円、サラダの定価140円
解説
求めたいカツ丼の定価をX、サラダの定価をYとします。
この時点で、
\(①x+y=940\)
を作ることができます。
次に1割引は10%引き、2割引は20%引きと考えることができます。
つまり、値引きされたカツ丼の値段は
\(\displaystyle \frac{80}{100}x\)なので\(0.8x\)と表せます。
サラダの値段は
\(\displaystyle \frac{90}{100}y\)なので\(0.9y\)と表すことができます。
これにより
② \(0.8x+0.9y=766\)という式を作ることができます。
式をまとめると、
①\(x+y=940\)
②\(0.8x+0.9y=766\)
となります。
計算してみましょう。
\begin{aligned}\begin{cases}x+y=940\\ 0.8x+0.9y=766\end{cases}\\ 0.8x+0.8y=752\\ \dfrac{-\left( 0.8x+0.9y\right) =-766}{-0.1y=-14}\\ y=140\\ x+140=940\\ x=800\end{aligned}
すると、\(x=800,\ y=140\)という答えが出ます。
まとめ
割合が出てくる連立方程式の文章題は、文字にするべき部分が、必ずしも求めたい値とも限りません
また、割合を式のなかで表現する際にも注意が必要になります。
以上の２点に注意して問題を進めていくと、代入法を用いて答えを出すことができます。
参考にしていただけますと幸いです。
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