[中3]円周角の定理とは？証明、応用をわかりやすく解説【簡単】

円周角の定理は中3で習う大切な図形の定理です。

円と角の大きさを表す定理なのですが、応用問題が受験でよく出題されます。応用問題が解けるようになるために、基礎をしっかり固めましょう。

この記事では、円周角の定理とは何か、その証明を解説しているので、基礎をしっかり学ぶことができますよ！

円周角の定理とは｜２つの意味

円周角の定理は大きく分けて2つあります。

1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
2. ある弧に対する円周角は全て等しい

の2つです。
1つずつゆっくり見ていきましょう。

円周角の定理｜その１

その１は『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』です。

式にすると、

円周角＝中心角÷２

となります。
図も見てみましょう。

中心角は「円上のある2点と、円の中心で出来た角」です。
図の青の線で表した角で、角を作る2本の線は両方とも半径になります！

円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。
図の赤い線が円周角です。

この赤い線で表した円周角は、青い線の中心角の半分となります。
つまり、下記の式が成り立ちます。

円周角＝中心角÷２

ただしこれが成り立つのは、円周上の同じ2点から線が出ている場合です。
下の図の場合だと、同じ2点（同じ弧）に対する円周角と中心角ではないため成立しません。
注意しましょう。

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それでは２つ目の円周角の定理の解説です。

円周角の定理｜その２

円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。
その２は『ある弧に対する円周角は全て等しい』です。

式で表すと、

円周角＝円周角

です。
こちらも、図も使って確認してみましょう。

この２つの円周角は同じ2点（同じ弧）と円周上のもう１点の3点で角を作っています。
つまり、どちらの円周角も『ある同じ弧に対する円周角』なので大きさが等しくなります！

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2種類の円周角の定理を確認しました。
ここから円周角の定理を証明していきます！

円周角の定理｜３つの証明

まずは『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』について証明します。
上記の定理を証明するためには、3つのパターンを証明する必要があります。

の3パターンです。図にしてみましょう。

ちょっと大変ですが、この3パターンで成り立つことを証明しないと「中心角\(=\)円周角\(\div2\)」を証明したことにはなりません。
１つずつ、ゆっくり解説していきます！

円周角の中に中心がある場合

最初に円周角の中に、円の中心がある場合。
証明には下記の図を使います。

ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。
２つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOCは∠DBCの2倍ってことです！

では証明に移りましょう！

まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。
点線の部分です。

ここで、△の印がついた3本の線は円の半径なので、3本とも同じ長さとなります。

$$AO=BO=CO$$

\(△BOC\)と\(△AOB\)はどちらも二等辺三角形です。
\(△BOC\)を見てみましょう。

二等辺三角形の底角は等しいため、●の角度は等しくなります。
(\(∠OBC=∠BCO\))

三角形の内角の和は180度なので、\(∠BOC\)の大きさは（\(180\)–●-●）度となります。

直線も180度のため、\(∠BOD=180\)です。
つまり、\(∠COD\)の角度は（●＋●）度となります。

同様に\(∠AOD\)は（●＋●）度となります。
ACの円周角\(∠ABC\)は（●＋●）度、

中心角\(∠AOC\)は（●＋●＋●＋●）＝2（●＋●）度。

以上より、\(∠ABC=∠AOC\div2\)となる。

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円周角＝中心角÷２

証明完了です。

円周角の外に中心がある場合

2番目の証明です。
円周角の外に円の中心がある場合を見てみましょう。

まずはBからOを通る直線を引いて円周との交点Dをとします。
△BOCを見てみましょう。
辺BOと辺OCはどちらも半径で長さが等しいため、△BOCは二等辺三角形です。

\(∠OBC=\)とすると\(∠OCB=□\)であり、\(∠DOC=◻︎＋◻︎\)となります。

次に△AOBを考えます。
\(∠OAB=●\)とすると\(∠AOD=●＋●\)となります。

• 円周角\(＝∠ABC＝●-◻︎\)
• 中心角\(＝∠AOC＝●＋●-◻︎＋◻︎＝２(●-◻︎)\)

以上より、

円周角＝中心角÷２

になります。

1本の線が中心を通る場合

あと１個です！もう少し頑張りましょう。

△OCBは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC（●）です。

つまり∠AOB=●＋●です。よって

$$∠AOB=2∠ACB$$

となります！

円周角は全て等しいの証明

最初に解説した通り、円周角の定理はもう１つあります。
『ある弧に対する円周角は全て等しい』です。
こちらの定理を証明していきましょう。

前提として、円周角と中心角の関係は証明完了しています。
つまり、

円周角＝中心角÷２

という式は使用可能です。

この図の円周角２つはともに同じ中心角をもってます！そして繰り返しになりますが、以下の式は成り立ちます。

円周角＝中心角÷２

つまり、

円周角＝中心角÷２＝（他の）円周角

となるので、証明完了です！