中3で習う多項式の章 (文字式を使って説明しよう)の公式と用語をまとめました。
内容は多項式の計算と因数分解、式の活用になります。
公式が多い単元なので、定期テストの前や、受験の前の復習にご活用ください！
※参考記事
[中3]単項式と多項式の違いと次数｜わかりやすい解説
多項式の計算
多項式と単項式の乗法・除法
（単項式）×（多項式）は分配法則を使い括弧をはずし、計算します。
$a(b+c)=a \cdot b+a \cdot c=ab+ac$
（多項式）÷（単項式）は単項式の逆数を掛けて計算します。
$\dfrac{a+b}{c}=(a+b) \cdot \dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$
例：
$2a(3a-5b)=2a \cdot 3a-2a \cdot 5b=6a^2-10ab$
$\dfrac{4xy^2+6x^2y}{2x}=(4xy^2+6x^2y) \cdot \dfrac{1}{2x}=\dfrac{2y^2}{2}+\dfrac{3xy}{2}=2y^2+3xy$
多項式の乗法
（多項式）×（多項式）の計算は以下のように順番に掛けていきます。
$(a+b)(c+d)=a \cdot c+a \cdot d+b \cdot c+b \cdot d=ac+ad+bc+bd$
例：
$(a-3)(b+2)=a \cdot b+a \cdot 2-3 \cdot b-3 \cdot 2=ab+2a-3b-6$
$(a+1)(a-b+2)=a \cdot a+a \cdot (-b)+a \cdot 2+1 \cdot a+1 \cdot (-b)+1 \cdot 2=a^2-ab+2a+a-b+2=a^2-ab+3a-b+2$
単項式や多項式の積を、かっこを外して単項式の和の形にすることを「展開する」といいます。
乗法公式 (展開公式)
多項式の乗法公式は以下の4つです。
- $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
- $(x+a)^2=a^2+2ax+a^2$
- $(x-a)^2=a^2-2ax+a^2$
- $(x+a)(x-a)=x^2-a^2$
例：
- $(x+3)(x-4)=x^2+(3-4)x+3 \cdot (-4)=x^2-x-12$
- $(x+3)^2=x^2+2 \cdot 3x+3^2=x^2+6x+9$
- $(x-5)^2=x^2-2 \cdot 5x+5^2=x^2-10x+25$
- $(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$
※参考記事
展開公式｜高校数学、公式一覧、3つ、4つ、三乗を紹介
因数分解
因数分解とは？
多項式をいくつかの因数の積として表すことを、多項式を「因数分解する」といいます。
多項式の各項に共通する因数があれば、それを括弧の外にくくりだして因数分解します。
例：
$3ax – 6ay = 3 \times a \times x – 2 \times 3 \times a \times y = 3a (x – 2y)$
公式を利用する因数分解
多項式の因数分解の公式は以下の4つです。
① $x^2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)$
② $a^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$
③ $a^2 – 2ax + a^2 = (x – a)^2$
④ $x^2 – a^2 = (x + a) (x – a)$
例：
① $x^2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)$ ･･･掛けて+2 足して-3になる2つの数は-1と-2
② $a^2 + 18a + 81 = a^2 + 2 \times 9 \times a + 9^2 = (a + 9)^2$
③ $x^2 – 14x + 49 = x^2 – 2 \times 7 \times x + 7^2 = (x – 7)^2$
④ $x^2 – 36 = x^2 – 6^2 = (x + 6) (x – 6)$
式の活用
乗法公式や、因数分解の公式を利用して、計算を簡単にすることができます。
例：
- 乗法公式 $(x + a)(x – a) = x^2 – a^2$ の利用
$$102 \times 98 = (100 + 2) (100 – 2) = 100^2 – 2^2 = 10000 – 4 = 9996$$
2. 乗法公式 $(x + a)^2 = a^2 + 2ax + a^2$ の利用
$$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 1 \times 100 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$$
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