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[数1]二次関数の変化の割合と求め方をわかりやすく解説

「変化の割合」という言葉をどこかで聞いたことがある人も多いのではないでしょうか。
変化の割合については中学校で学習した一次関数ですでに学習しています。

今回はその変化の割合が二次関数ではどのように求めることができるかを解説します。

また一次関数の変化の割合と二次関数の変化の割合では少し違った部分もあるので、その点に注目してみてください。
それでは一緒に考えていきましょう。

目次

変化の割合とは?

変化の割合とは、xの増加量に対してyがどれだけ増えたかを表すものです。

実はこの変化の割合、二次関数だけでなく一次関数でも求めることができます。
具体的な一次関数をもとに考えていきましょう。

一次関数の変化の割合

一次関数$y=2x-1$の$x$の値が1から3まで増加したとします。
このときyの値はどのように変化するでしょうか?

$x=1$のとき$y=1$、$x=3$のとき$y=5$です。
つまりyの値は1から5に増えたことがわかります。
したがってこの一次関数はxが2増えたときyが4増える関数です。

ではxが1増えるとyはどれだけ変化するでしょうか?
答えは2です。
これが変化の割合です。

ちなみにこの「2」という数字、ある場所に見つけることができませんか?
もとの一次関数$y=2x-1$のxの係数と同じですね。

実は一次関数の場合、変化の割合はグラフの傾きに等しくなるので覚えておきましょう。

※参考記事
[数1]次数と係数の関係|単項式、多項式、定数項、同類項との関係

[中2]一次関数の変化の割合の求め方

二次関数の変化の割合

では二次関数はどうでしょうか?
二次関数$y=2x^2+4$のxの値が1から2まで増加したとします。

このときyの値はどのように変化するでしょうか?

$x=1$のとき$y=6$、$x=2$のとき$y=12$となり、xが1増えるとyは12増えます。
つまり変化の割合は12です。

二次関数の場合$x^2$の係数と変化の割合は等しくならないので注意しましょう。
次に二次関数の変化の割合の求め方について説明します。

二次関数の変化の割合の求め方

変化の割合とはxの増加量に対してyがどれだけ増えたかを表すものでした。
つまり変化の割合を$m$とすると、$m$は次のように求めることができます。

変化の割合mの求め方
変化の割合mの求め方

では実際に変化の割合を求めてみましょう。

二次関数$y=2x^2$について、xの値が1から3まで増加するとき変化割合はどうなるでしょうか?
変化の割合を求めるときはxの増加量とyの増加量が必要です。

まずxの値は1から3まで増えているのでxの増加量は2です。
$3-1=2$となり、計算で簡単に求めることができるので覚えておきましょう。

次にyの増加量を求めます。
$x=1$のとき$y=2$、$x=3$のとき$y=18$なので、yの値は2から18まで増えています。
このときyの増加量は$18-2=16$です。

よって変化の割合は$\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$で求めることができるので、この式に代入すると$\displaystyle \frac{16}{2}=8$となり、変化の割合は8と求めることができました。

このように1つずつ必要になる値を出していくことで変化の割合を求めることができます。
計算ミスをしやすいところなので、その点には気をつけましょう。

二次関数の変化の割合の練習問題

それでは二次関数の変化の割合を求める練習問題を解いていきましょう!

練習問題

(1) 二次関数$y=\displaystyle \frac{1}{2}x^2$について、xの値が2から4まで増加するときの変化割合を求めよ。
(2) 二次関数$y=-2x^2$について、xの値が-1から2まで増加するときの変化割合を求めよ。

解答

(1) 3
(2) -2

解説

変化の割合は$\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$で求めることができましたね。
この公式を使って、変化の割合を求めていきましょう。

(1) xの増加量は4-2=2です。
$x=2$のとき$y=2$、$x=4$のとき$y=8$なので、yの増加量は8-2=6
よって、変化の割合は$\displaystyle \frac{6}{2}=3$です。

解説1
解説1

(2) xの増加量は$2-(-1)=3$です。
$x=-1$のとき$y=-2$、$x=2$のとき$y=-8$なので、yの増加量は$-8-(-2)=-6$
よって、変化の割合は$\displaystyle \frac{-6}{3}=-2$です。

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二次関数の変化の割合まとめ

二次関数の変化の割合について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

  1. 変化の割合とは、xの増加量に対してyがどれだけ増えたかを表すものです。
  2. 変化の割合は$\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$で求めることができます。
  3. 変化の割合を求めるときはxの増加量、yの増加量を1つずつ丁寧に求めましょう。

いかがでしたか?
二次関数の変化の割合は「xの増加量」と「yの増加量」を計算ミスすることなく求められるかがポイントになります。
ぜひ表などを用いながら、変化の割合を求めてみてください。

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