今回は、sin 130° = 0.766044…を算出するやり方について共有します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を解説していきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin130°の算出方法説明です。
$$\sin 130°=0.766044…$$
10位までsin 130°を書いてみる
唐突ではありますが、sin 130°を10桁確認してみましょう!$$\sin 130° = 0.7660444431 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin130°の値を明らかにする
三角関数表を確認せずにsin130°の値を求める方法は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の手法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。
マクローリン展開でsin130°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 130°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.268928…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 130°\)を求められます。
$$\sin 130° = 0.766044…$$
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