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三角関数表のサインの表におけるsin29°の計算方法

それでは、sin 29° = 0.484809…を電卓で計算する方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求める方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin29°の求める方法解説です。

$$\sin 29°=0.484809…$$

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10桁のsin 29°を調べる

最初に、sin 29°を10桁書いてみましょう!$$\sin 29° = 0.4848096202 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin29°の値を算出する

三角関数表を使用せずにsin29°の値を計算する方法は3つあります。

  1. 分度器を使用して29°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でsin29°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 29°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.506145…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 29°\)を求められます。

$$\sin 29° = 0.484809…$$

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