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三角関数表のサインの表におけるsin306°の計算方法

今回は、sin 306° = -0.809017…を計算するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求め方を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin306°の求め方紹介です。

$$\sin 306°=-0.809017…$$

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sin 306°を10桁確認

早速ですが、sin 306°を10桁表してみましょう!$$\sin 306° = -0.8090169944 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin306°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin306°の値を解く方法は3つあります。

  1. 分度器を活用して306°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin306°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 306°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.340707…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 306°\)を求められます。

$$\sin 306° = -0.809017…$$

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