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三角関数表のタンジェント表におけるtan74°の導出

この記事では、tan 74° = 3.487414…を算出する手法について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
一方で、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。

本記事では、tan 74° = 3.487414…となる計算について紹介します。

目次

10桁のtan 74°を確認

初めに、tan 74°を10桁確認してみましょう!$$\tan 74° = 3.4874144438\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 74° = 3.487414…を求める

tan 74° = 3.487414…を計算するためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインを算出できます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 74°=1.291543…$$ $$\sin 74° = 0.961261…$$
$$\cos 74° = 0.275637…$$

サインとコサインを使って$\tan 74° = \displaystyle \frac{\sin 74°}{\cos 74°}$からtanを求められます。

$$\tan 74° = 3.487414…$$

tan 74°|120秒の復習動画

このページで解説した内容を120秒で確認できる動画を作りました!

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