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三角関数表のサインの表におけるsin125°の求め方

本解説では、sin 125° = 0.819152…を求めるやり方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を解説していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin125°の計算の仕方説明です。

$$\sin 125°=0.819152…$$

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10桁のsin 125°を書いてみる

唐突ではありますが、sin 125°を10桁表してみましょう!$$\sin 125° = 0.8191520442 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin125°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin125°の値を解く手法は3つあります。

  1. 分度器を活用して125°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin125°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 125°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.181661…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 125°\)を求められます。

$$\sin 125° = 0.819152…$$

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