展開公式1:数学の基礎とその計算を理解しよう!

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本記事の内容

  • 展開公式の基礎を復習
  • 3つの式の解き方
  • ( )の外し方

どんな人向けの内容?

3つの式が「なぜ」成り立つか分からない人向けの記事となります。

この記事は、「上の3つの式は分かるよ!」って方は読み飛ばしても良い内容しかありません。が、少しでも疑問がある場合はしっかり読んで理解しておきましょう。

数学の基礎中の基礎のため、ここが分からないと他の単元はほとんど分からなくなってしまいます・・・

展開公式の証明:①の場合

まずは、①の式を証明しましょう。

$$( a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$

ですね。まずはこの式の左辺の意味ですが、

$$( a+b)^{2} = (a+b)(a+b)$$

と、(a+b)×(a+b)という式を表しています。この計算法は以下のようになります。


$$(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2$$

①、②、③、④の順番でかけ算をしていきます!

すると式は上のようになりますね。このように式から()を外すことを展開と数学では読んでいます。(だから展開公式って名前なんですよ。)

ここで”ab”と”ba”はどちらも同じなのでまとめることができます。(”3×5”も”5×3”も同じですよね。そんな感じです。)

$$\begin{align}(a+b)(a+b) &= a^2 + ab + ba + b^2\\ &= a^2 + 2ab + b^2\end{align}$$

となりまして証明完了です!

展開公式の証明:②の場合

基本的には①の場合とほとんど同じです!

$$\begin{align}(a-b)(a-b) &= a^2 – ab – ba + b^2\\ &= a^2 – 2ab + b^2\end{align}$$

となります。ポイントは”b”が”-b”になっていること!

\(b^2\)は変わりませんが、\(ab\)が\(-ab\)となる点に注意です。結果として\(2ab\)の符号が”-”になりましたね。

以上で②の証明は終了です。

展開公式の証明:③の場合

最後に③の証明です。

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

って式でしたね。これも簡単で順番にかけ算していきましょう!

$$\begin{align}(a+b)(a-b) &= a^2 – ab + ba – b^2\\ &= a^2 – b^2\end{align}$$

となるのです。今回は”ab”の符号が違うため消えてしまうのがポイントですね!

まとめ

数学の基礎中の基礎、展開公式をみてきました。

今後はこれを応用した計算が続々と現れますので、しっかりとバッチリと理解しておきましょう!!

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