二次関数:グラフの書き方と頂点座標

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全4回の二次関数講座、第1回はグラフの書き方と頂点です。

二次関数①:グラフの書き方と頂点座標 ←イマココ
二次関数②:最大と最小を理解しよう
二次関数③:平方完成を理解しよう
二次関数④:練習問題(詳しい解説付き)

今回は、3つのパターンの式を確認していきます。

  1. \(y=ax^2\)
  2. \(y=a(x-b)^2\)
  3. \(y=a(x-b)^2+c\)

の3つです。

この3つを使って「グラフの書き方」と、「頂点座標の見つけ方」を説明します。第1回は基礎編なので難しくはないですが、今後ガンガン使っていくので、しっかりと理解して第2回へと進みましょう!

くりまろ
くりまろ

二次関数は大嫌いだから頑張るぞ〜

トムくん
トムくん

僕は数学が嫌いだぞ〜

 

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二次関数の基礎:\(y=ax^2\)を理解しよう

まずは中学校で習ったことのある
$$y=ax^2$$
です。この形を使って二次関数の基礎を理解していきます。

冒頭で「グラフの書き方」と「頂点座標の見つけ方」を学ぶと書きました。しかし実際に二次関数のグラフを書くには、

  1. 式から頂点を見つける
  2. 頂点を基準にグラフを書く

という2ステップでグラフを書くことになります。
(まあ実際に書かなくてもいいんですが、グラフを書くってのが基盤となって今後の理解が楽になるので、かなり適当でもいいから書くことをお勧めします。)

では、ステップ1の頂点を見つけてみましょう!

\(y=ax^2\)の頂点を見つける

二次関数の頂点を見つけるのは、実はかなり簡単です。

だいたい頂点ってどこ?って聞かれそうですが、二次関数のグラフは絶対に「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になります。これの天辺が頂点となります。

\(y=ax^2\)の形では頂点は絶対に(0, 0)です。ですので、\(y=ax^2\)のaに何が入るかによってグラフの形が決定します。

いくつか書いておくので参考にしてください。

基本的にaが大きくなれば幅が狭くなり、小さくなれば広くなります。またaが負の数なら逆さ向きになります。

あとはxに1、2、3、・・・と代入していって計算すれば簡単ですね。

トムくん
トムくん

思ってたよりだいぶ簡単じゃないか。

二次関数:\(y=a(x-b)^2\)を理解しよう

中学の復習が終わったところで次はこの形です。数学に拒否感がある人は嫌になる形ですが、理解すれば簡単です。頑張りましょう。

グラフを書くまでの2ステップはなんでしたか?

  1. 式から頂点を見つける
  2. 頂点を基準にグラフを書く

ですね。ではまず頂点を見つけましょう。

\(y=a(x-b)^2\)の頂点を見つけよう

頂点の見つけ方は簡単です。\(y=a(x-b)^2\)の\((x-b)^2\)の部分がゼロになるxを探せばいいだけ!

つまり、\(x-b=0\)になるxを見つければいいだけです。\(x=b\)ですよね!

よって頂点座標は(b, 0)となります。めっちゃ簡単。

そして、さっきは(0, 0)を頂点にしてグラフを書きましたが、今回は(b, 0)を頂点にグラフを書くだけ。

形は\(y=ax^2\)と同じです。

つまり、下の図のように頂点の位置が変わっただけで他には何も変わっていません!!

\(y=a(x-2)^2\)なら(2, 0)を基準に、
\(y=a(x-5)^2\)なら(5, 0)を基準にするだけです。

思っているより簡単ですよね。それでは最後の形に行ってみましょう!

二次関数:\(y=a(x-b)^2+c\)を理解しよう

最後のこの形が数学Iで習う基本的な形となります。ちょっとややこしくなりましたが、難しくはありませんよ。

頂点を探してみましょう。ステップ1として、\(y=a(x-b)^2+c\)の中の\((x-b)^2\)が0となるxを探します。

つまりx=bですね。これまでの式ですと、頂点は(b, 0)となりました。しかし今回は「+c」が後ろについています。

これについてですが、\(y=a(x-b)^2+c\)でx=bのときのyは何になるか考えましょう

$$\begin{align}y &=a(x-b)^2+c \\&=a(b-b)^2+c \\&=0+c \\&= c \end{align}$$

つまり、y=cとなります。x=bのときy=cです。つまり頂点は(b, c)ってことです。一旦まとめましょう。

頂点のまとめ

  • \(y=ax^2\)⇨頂点は(0, 0)
  • \(y=a(x-b)^2\)⇨頂点は(b, 0)
  • \(y=a(x-b)^2+c\)⇨頂点は(b, c)

あとは、これらの頂点から二次関数を書けばいいだけです。例えば$$y=2(x-4)^2+3$$

の場合ですと、頂点は(4, 3)です。

この頂点(4, 3)から\(y=2x^2\)のグラフを書けばいいだけです。

もう一つ見てみましょう。$$y=\frac{1}{2}(x+3)^2-5$$って式があったとします。

この場合の頂点はどこでしょうか。

頂点は(-3, -5)です。(3, -5)もしくは(3, 5)と思った方はいませんか?

頂点が分かったので、あとは(-3, -5)をスタートして\(\frac{1}{2}x^2\)のグラフを書くだけでOKです!

今回は以上です。ここまでをしっかり理解した上で第2回に移動しましょうね!

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