二次関数②:最大と最小を理解しよう

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全4回の二次関数講座、第2回は最大と最小です。

二次関数①:グラフの書き方と頂点座標
二次関数②:最大と最小を理解しよう←イマココ
二次関数③:平方完成を理解しよう
二次関数④:練習問題(詳しい解説付き)

前回は二次関数の基礎について学びました。意外と簡単でしたよね。

具体的には、\(y=a(x-b)^2+c\)の式の頂点座標を見つけてグラフを書くというものでした。もし、この式の頂点座標が分からない場合は第1回から読み直してくださいね!

二次関数①:グラフの書き方と頂点座標
全4回の二次関数講座、第1回はグラフの書き方と頂点です。 二次関数①:グラフの書き方と頂点座標 ←イマココ 二次関数②:最大と最小を理解しよう 二次関数③:平方完成を理解しよう 二次関数④:練習問題(詳しい解説付...

そして今回は、二次関数の最大最小について学びたいと思います。

前回の内容を理解していればすごく簡単です!しかもテスト意外に出やすかったりするので、しっかり知識として蓄えましょう。

くりまろ
くりまろ

二次関数だいぶ分かってきたじぇ。

トムくん
トムくん

二次関数嫌いになったじぇ。

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二次関数の最大と最小って何?

二次関数の最大と最小って何でしょうか。例えば、$$y=a(x-b)^2+c$$があったとします。

すると、グラフはこうなりますよね。↓↓

 

ここで\(a>0\)の場合は最小が、\(a>0\)の場合は最大が、それぞれ存在しています。

これを、
x=bのとき最大(小)値c と書きます。

具体的な例を見てみましょう。

最大値と最小値の求め方

前に書いた通り、二次関数のグラフは絶対に「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になります。

「U」の字なら最小値が、「\(\cap\)」の字なら最大値があるわけです。

では、例題を通して具体的に見ていきましょう。

\(y=(x-2)^2+1\)の場合

例題

\(y=(x-2)^2+1\)の最大値と最小値を求めよ。

勘の良い方なら分かったと思いますが、最大値と最小値が両方存在することはありません!例えば「U」の字場合の最大値は♾ですよね。

今回の問題は、$$y=a(x-b)^2+c$$で表すと\(a=1>0\)なのでグラフは「U」の字です。

つまり、最大値は「存在しない」が答えとなります。(♾ではありません!笑)

では最小値はなにか・・・

ずばり、頂点座標が答えとなります。$$y=(x-2)^2+1$$の頂点座標は(2, 1)ですよね。ん??ってなった方は前回の解説を読んでみてください^^

二次関数①:グラフの書き方と頂点座標
全4回の二次関数講座、第1回はグラフの書き方と頂点です。 二次関数①:グラフの書き方と頂点座標 ←イマココ 二次関数②:最大と最小を理解しよう 二次関数③:平方完成を理解しよう 二次関数④:練習問題(詳しい解説付...

頂点座標は下の図のように、
「x=2のとき、最小値1」が答えとなります。

もう1問解いてみましょう!

\(y=-3(x-1)^2+4\)の場合

例題

\(y=-3(x-1)^2-4\)の最大値と最小値を求めよ。

今回は\(a=-3<0\)とaが0より小さくなっています。つまりグラフは・・・「\(\cap\)」の字ですね。ということは、最大値と最小値のどっちが存在しないことになるでしょう。

はい、最小値が「存在しない」ことになります。

では最大値を求めましょう。下の図のようなグラフが書けるはずですね。頂点座標はどうでしょうか。$$y=-3(x-1)^2-4$$なので、(1, -4)です。

 

以上より、「x=1のとき、最大値−4」となります。

理解してしまえば簡単ですよね!

まとめ

二次関数の最大・最小について解説しました。

  • 二次関数は「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になる。
  • それぞれ、最小値(U)、最大値(\(\cap\))が存在する。
  • その値は頂点座標の値であり、書き方は「x=〜のとき、最大(小)値〜」

以上がまとめです。
次回は平方完成となります!

二次関数③:平方完成を理解しよう
全4回の二次関数講座、第3回は平方完成です。 二次関数①:グラフの書き方と頂点座標二次関数②:最大と最小を理解しよう二次関数③:平方完成を理解しよう←イマココ二次関数④:練習問題(詳しい解説付き) 前回は二次関数の最大と最小を解...

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