三角関数②:覚えるべき三角関数の関係公式とその証明

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三角関数の基礎を前回説明しました。

ざっくり説明しますと、このような三角形があったときに

  • \(\sin θ=\frac{r}{y}\)・・・①
  • \(\cos θ=\frac{r}{x}\)・・・②
  • \(\tan θ=\frac{y}{x}\)・・・③

の3つの式ができること、その覚え方と使い方を説明しました。

イマイチしっくりこない方はこちらの記事をどうぞ。

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今回は三角関数の第2弾として、覚えるべき公式とその関係について説明しますね。

トムくん
トムくん

そういう式があるのは理解できてるんだけどなあ。

くりまろ
くりまろ

今後三角関数が登場することが多くなるけど、数学Iで習うのはその下準備だと割り切った方がいいよ。

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三角関数で覚えるべき三角形2選

 

教科書の最後の方に三角関数の値が大量に書いてあるページがあると思います。これを全部覚える必要は全くありません!

が、最低限覚えておくべきものがあります。それが以下の2つの三角形。

この2つはよく出てくるので注意です!この2つを覚えておくだけで以下の式は試験中でも作ることができます!

  • $$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
  • $$\sin 60°=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
  • $$\sin 30°=\cos 60°=\frac{1}{2}$$

この式を覚えるのではなく、三角形を覚えておくことで、試験中にこれらの式を「作り出す」ことが重要となってきます!

三角関数の覚えるべき公式

次は覚えておくべき式です。

それはこの2つ。

覚えるべき公式!

$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

この2つの式は、この後様々な応用に使われるので、今のうちにしっかり覚えましょう!

2つ式の証明

証明ってほどでもないですが、2式を証明しましょう!

まずは(1)式

このような三角形を基本に考えます。

すると、

$$\begin{align}
\sin^2 θ+\cos^2 θ&=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2\\&=\frac{x^2+y^2}{r^2}\\&=\frac{r^2}{r^2}\\&=1\end{align}$$

(※ピタゴラスの定理より\(x^2+y^2=r^2\))

簡単ですよね。

次に(2)式の証明

$$\begin{align}\frac{\sin θ}{\cos θ}&=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}
\\&=\frac{y}{x}
\\&=\tan θ  \end{align}$$

これも簡単ですなあ!

三角関数:発展した公式

残り2つ、知っておくべき式があります!それがこれ!

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

$$1+\frac{1}{\tan^2 θ}=\frac{1}{\sin^2 θ}・・・(4)$$

(1), (2)式は使えるのでもう簡単です!

(3)の証明

$$\begin{align}\tan^2 θ+1 &=\frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ}-(2)
\\&=\frac{\sin^2 θ+\cos^2 θ}{\cos^2 θ}
\\&=\frac{1}{\cos^2 θ}-(1)
\end{align}$$

(1), (2)ってのはその式を使ったよって意味です。超簡単ですよね!

(4)の証明

$$\begin{align}1+\frac{1}{\tan^2 θ} &=\frac{\sin^2 θ}{\sin^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\sin^2 θ}-(2)
\\&=\frac{1}{\sin^2 θ}-(1)\end{align}$$

こっちも簡単ですね!

トムくん
トムくん

三角関数ちょろいじゃん。

 

まとめ

今回は三角関数の公式4つを紹介しました。

この4つはものすごく使う機会が多いです。[特に(1)式と(2)式]

てことで今のうちにしっかりと理解して覚えちゃいましょう!

覚えるべき公式まとめ!

$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

$$1+\frac{1}{\tan^2 θ}=\frac{1}{\sin^2 θ}・・・(4)$$

 

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