【数1】三角形の面積を求める公式

三角比から三角形の面積を求める公式は、覚えておく必要がある超重要公式です。

三角形の面積は通常だと、

（底辺）\(\times\)（高さ）\(\div2=\)（面積）

と計算します。

しかし三角比があれば、面積の公式によって、２辺とその間の角から面積を計算できるようになります。

今回はこの三角形の面積の公式を解説していきます！

では、例題を解きながら面積の公式を理解しましょう！

面積の公式の使い方１｜２辺とその間の角がわかる場合

紹介する例題は3問です。

1. ２辺とその間の角が分かっている場合（基礎問題）
2. ３辺が分かっている場合
3. １辺とその両端の角が分かっている場合

この3問を解いていきます！

例題１｜三角比 面積の公式基礎問題

図のような三角形の面積を求めよ。

解答１｜三角比 面積の公式基礎問題

この問題は２辺のその間の角が分かっていますね。

この場合は公式を使って１発で計算できます。

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$$

より、

\begin{eqnarray} S &=&\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}96\sin 120°\\
&=& 48\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\\
&=&24\sqrt{3} \end{eqnarray}

\(∴S=24\sqrt{3}\)

公式を使うと簡単に求めることができますよね！

面積の公式の使い方２｜３辺がわかる場合

次の例題は３辺が分かっている場合です。

例題２｜三角比 面積の公式

図のような三角形の面積を求めよ。

解答２｜三角比 面積の公式問題

この場合は2つの解法があります。

1. 余弦定理を使って、角度を出してあげて、２辺とその間の角から面積の公式で計算する
2. ヘロンの公式に当てはめる

1つずつ解説していきますね。

余弦定理で面積を求める方法

面積の公式は

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$$

であり、今\(b=5,\ c=10\)が分かっています。

なので、\(\sin A\)がわかれば面積Sを求めることができますね。

\(\sin A\)を求めるために、\(\sin^2 A+\cos^2 B=1\)の式と余弦定理を使います。

余弦定理を変形すると、角度を求めることができます。

$$\cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

ここに３辺の長さを代入すると、

\begin{eqnarray} \cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
&=&\displaystyle \frac{25+100-49}{100} \\
&=&\displaystyle \frac{76}{100} \\
&=& \displaystyle \frac{19}{25}\end{eqnarray}

(\sin^2 A+\cos^2 B=1)より、

\begin{eqnarray} \sin A &=& \sqrt{1-\cos^2 A} \\
&=& \sqrt{\displaystyle \frac{25^2-19^2}{25^2}} \\
&=&\displaystyle \frac{2\sqrt{66}}{25}\end{eqnarray}

となります。

最後に求めた\(\sin A\)を面積の公式に代入すると、面積が計算できます。

\begin{eqnarray} S&=&\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}50\displaystyle \frac{2\sqrt{66}}{25}\\
&=& 2\sqrt{66}\end{eqnarray}

よって、面積は\(2\sqrt{66}\)となります。

ヘロンの公式で面積を求める方法

ヘロンの公式は３辺の長さを代入すれば解けてしまうので非常に便利です。

\(a=7,\ b=5,\ c=10\)を代入すると、ヘロンの公式の\(s\)は以下のようになる。

\begin{eqnarray} s&=& \displaystyle \frac{a+b+c}{2} \\
&=& \displaystyle \frac{22}{2}\\
&=&11 \end{eqnarray}

\(s\)を使って面積\(S\)を計算することができます！

\begin{eqnarray} S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&=& \sqrt{11(11-7)(11-5)(11-10)}\\
&=&\sqrt{11\times4\times6\times1}\\
&=&\sqrt{264} \\
&=&2\sqrt{66}\end{eqnarray}

よって、面積は\(2\sqrt{66}\)となります。

ヘロンの公式の注意点

今回は、辺の長さが(a=7,\ b=5,\ c=10)であり、無理数がありませんでした。

\(\sqrt{3}\)などの無理数があるとヘロンの公式は計算が複雑になるため、使えません。

辺の長さにルートがある場合は、余弦定理で面積を求める方がおすすめです！

面積の公式の使い方３｜１辺と２つの角がわかる場合

最後は１辺と2つの角がわかる場合の面積の求め方です。

この場合は正弦定理を使って、辺の長さを計算してあげて、面積の公式に当てはめます！

例題３｜三角比 面積の公式問題

図の三角形の面積を求めよ。

解答３｜三角比 面積の公式問題解説

三角形の１辺と2つの角が分かっています。

面積の公式を使うには、２辺とその間の角が必要です。

つまり、問題図で言うと\(b\)の長さが分かれば面積の公式を使えるようになります。

ここで使うのが正弦定理です。

正弦定理で面積を求める方法

正弦定理より、$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\displaystyle \frac{b}{\sin B}$$

が成り立ちます。

ここで\(∠B=180-80-30=70\)なので、70°ですね。

つまり、以下の計算をすることができます。

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{a}{\sin A}&=&\displaystyle \frac{b}{\sin B}\\
b&=& \displaystyle \frac{1}{\sin B}\displaystyle \frac{a}{\sin A} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\sin 70}\displaystyle \frac{5}{\sin 30} \\
&=&\displaystyle \frac{1}{0.94}\displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{1}{2}} \\
&=&\displaystyle \frac{94}{100}10\\
&=&\displaystyle \frac{47}{5} \end{eqnarray}

よって、\(b=\displaystyle \frac{47}{5}\)となります。

面積の公式より、

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C$$

なので、

\begin{eqnarray} S &=& \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}5\displaystyle \frac{47}{5}\sin 80\\
&=&\displaystyle \frac{47}{2}\times0.985\\
&=&23.14 \end{eqnarray}

よって、面積は\(23.14\)となります。

実際の問題では、もう少し綺麗な値になると思いますが、練習なので小数になる問題を使ってみました。

面積を求めるポイント

面積を求める公式が色々あるのは分かっていただけたと思います！

面積を求めるポイントは、２辺とその間の角をなんとしても求める！になります。

もちろんヘロンの公式を使った方が早いよーって問題もあります。

面積の公式を使わない方が早い場合もあります。

ただ、基本は面積の公式なのは間違いありません。

問題を読んで、面積の公式に足りない材料は何かな〜

と考えるのが1番簡単に求められる方法だと思います！

証明｜三角比 三角形の面積の公式

では、三角形の面積の公式を証明していきましょう！

とっても簡単なのでサクッとやってしまいますね。

証明は以上です！

三角形の面積の公式｜まとめ

三角比を使った三角形の面積の公式について解説してきました。

ポイントは以下の3点です。

となります。