[数1]必要十分条件｜覚え方と証明をわかりやすく解説

必要十分条件について解説していきます。
必要条件と十分条件と必要十分条件、この違いがわかると集合と命題はかなり理解できています！

必要条件と十分条件については下記の記事が参考になります。

必要十分条件とは

　ある命題「ＰならばＱである（$Ｐ⇒Ｑ$）」に対して、$Ｐ⇒Ｑ$が真（十分条件）であり、$Ｑ⇒Ｐ$も真（必要条件）となるものです。
つまり、必要条件であり、かつ十分条件であるため、必要十分条件と表現します。また、必要十分条件であることは「同値である」と同等のことです。

記号で「$Ｐ⇔Ｑ$」と書くこともできます。つまり、ＰもＱも全く同じことを言っているということです。極端な例を言えば、「リンゴはリンゴである」というのは必要十分条件ということです。

必要十分条件の具体例

　他にも、具体的な例で考えてみましょう。

「$x=y\ (Ｐ)$　は　$(x-y)^2 = 0\ (Ｑ)$　の　＿＿＿＿　条件」

この問題を考える際に、$Ｐ→Ｑ$に関しては、x=yであれば、どんな値でも$x-y=0$となり、$(x-y)^2=0$となるため、真である。
また、$Ｑ→Ｐ$に関しては、$(x-y)^2=0$であれば、$x=y$といえるため、こちらも真である。つまり、両方とも真であるため、必要十分条件であるといえます。

必要十分条件の覚え方

　必要十分条件について説明しましたが、そうは言われても、「どうやって問題解くの？」という疑問もあるかと思います。そういう方のために、以下を覚えると問題が解きやすくなります。

　以下の問題があるとします。

　$Ｐ$　は　$Ｑ$　であるための＿＿＿＿＿条件

こういう問題が出てきたら、まず下記のように矢印を書きましょう。（この際に、矢印の向きは逆にしないことがポイントです）そして、この問題は十要（重要）な問題と書きます。つまり、$Ｐ→Ｑ$が真であれば十分条件、$Ｑ→Ｐ$が真であれば必要条件といえます。

あとは、$Ｐ→Ｑ$と$Ｑ→Ｐ$の真偽を調べれば良いだけになります。この際に、両方とも真である場合、必要十分条件であるといえます。

必要十分条件の例題と証明のやり方

＜例題１＞

「$x^2-3x+2=0(Ｐ)$　は　$x=1,2(Ｑ)$　であるための＿＿＿＿＿条件」

こういう問題のときにポイントになることとしては、「解ける式は解く」ことです。例えば、今回のＰは二次方程式であるため、解を求めることができます。

$x^2-3x+2=0$

$(x-1)(x-2)=0$

$x=1,2$

つまり、ＰとＱは完全に一致していることがわかります。

これによって、どちらも真であることがわかります。

以上より、

$x^2-3x+2=0(Ｐ)$　は　$x=1,2(Ｑ)$　であるための「必要十分」条件

であるといえます。

＜例題２＞

「１組の向かい合う辺が等しく平行である四角形（$Ｐ$）　は　平行四辺形（$Ｑ$）　であるための＿＿＿＿＿条件」

こういう問題のときにポイントとなることとしては、平行四辺形の定義や性質を覚えているかということになります。今回の問題に関しては、平行四辺形になる条件の１つに「１組の向かい合う辺が等しく平行である」というものがあります。つまり、条件Ｐは平行四辺形のことを述べていると同じことになるため、ＰはＱと同値といえます。