[数1]二次方程式の解の公式の証明｜証明する3つの方法

今回は二次方程式の解の公式を3つの方法で証明していきます！

• 代入で証明する
• 平方完成で証明する
• 解と係数の関係で証明する

解の公式がなぜ成り立つのか、証明を通してわかりやすく解説していきます。

解の公式とは

まずは簡単に解の公式について復習しましょう。

二次方程式が \(ax^2+bx+c=0\) の形のとき、
解の公式は \(x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) （ただし、\(b^2-4ac\geqq0\)）

特に \(b\) が偶数の時、\(b=2b’\) と置くと、
解の公式は \(x=\displaystyle\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) （ただし、\(b’^2-ac\geqq0\)）

解の公式を使えば、二次方程式は必ず解ける便利な方法です。

今回は\(x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)を証明していきます！

証明1｜代入で証明する

解を \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) として、二次方程式に代入すると、

\begin{eqnarray}
& &\displaystyle a\left(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2+\displaystyle b\left(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)+c \\
&=&\displaystyle \frac{b^2\mp2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2-4ac}{4a}+\displaystyle b(\frac{-2b\pm2\sqrt{b^2-4ac}}{4a})+\displaystyle\frac{4ac}{4a} \\
&=&\displaystyle \frac{b^2\mp2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2-4ac-2b^2\pm2b\sqrt{b^2-4ac}+4ac}{4a}\\
&=&\displaystyle \frac{b^2+b^2-2b^2+4ac-4ac\pm2b\sqrt{b^2-4ac}\mp 2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a}
\\&=&0
\end{eqnarray}

よって、 \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) は、二次方程式の解となります。

証明2｜平方完成で証明する

二次方程式の左辺を平方の形に変形すると、
\begin{eqnarray}
& &ax^2+bx+c \\
&=&\displaystyle a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \\
&=&\displaystyle a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a}+c \\
&=&\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0
\end{eqnarray}
平方以外の項を移項して、
\[
\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a}-c
\]
両辺を \(a\) で割り、右辺を通分すると、
\[
\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\]
両辺のルートをとると、
\[
\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
\(\displaystyle \frac{b}{2a}\) を移項すると、
\[
\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]

よって、 \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) は、二次方程式の解となります。

証明3｜解と係数の関係で証明する

二つの解を、\(\alpha, \beta\)とすると、

\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\)=0

\(ax^2+bx+c=0\)と係数比較すると、
\(-a(\alpha+\beta)=b, \ a\alpha\beta=c\) より \(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}, \ \alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)

ここで、\(\alpha=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \beta=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) とすると、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}, \ \alpha\beta=\displaystyle\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\displaystyle\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\displaystyle\frac{c}{a}\) が成り立ちます。

よって、 \(\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) は、二次方程式の解となります。

まとめ

解の公式の証明は、平方完成からの導出が正統な方法です。

代入による証明と、解と係数の関係で証明する方法は、解の公式が分かったうえで、その正しいことを証明するという、間接的な方法になります。

平方完成からの導出方法を、しっかりと理解してください。