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[数1]空集合とは?記号、部分集合との関係をわかりやすく解説

空集合と聞いてどのような集合をイメージしますか?
「空っぽ」の「集合」と書いて「空集合」です。

集合は1つ1つの要素で構成されます。
つまり、要素をもたない集合が空集合になります。

例えば、お店にりんご、ぶどう、バナナと書かれた箱があります。しかし、お店にはりんごとバナナしかありません。そのとき、ぶどうの箱は空になりますよね。
これが空集合の考え方です。

実は、他にも空集合にはおもしろい性質があります。
これから一緒に考えていきましょう。

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目次

空集合とは?

空集合とは要素をもたない集合のことです。
例えば、2つの集合をA={1,2,3}、B={4,5}とします。
この2つの集合に共通する要素はありません。

つまりA∩Bは要素が1つもない集合と考えることができます。
これが空集合です。

この2つの集合をベン図で表すと図1になります。

空集合とは
空集合とは

AとBの集合に共通部分がないことがわかりますね。
このように空集合はベン図で表すと、集合同士は重なりません。

空集合の記号

空集合は記号$\varnothing$で表します。
先ほどの集合AとBの共通部分は「$A∩B=\varnothing$」と表すことができます。

空集合と部分集合の関係

空集合と部分集合にはおもしろい関係があります。
実は、どのような集合Aについても、空集合はAの部分集合と考えられます。

つまり「$\varnothing \subset A$」であるということです。それはなぜしょうか。
一緒に考えていきましょう。

「$\varnothing \subset A$」であるということは「$x\in\varnothing$ならば$x\inA$」が成り立つということです。
「$x\in\varnothing$ならば$x\inA$」を証明するために、この命題の対偶を考えてみます。

この命題の対偶は「$x\notinA$ならば$x\notin\varnothing$」ですね。
「あるxがAの要素でないならば、xは空集合の要素でない」
この命題は真です。

なぜなら、空集合は要素をもたない集合だからです。
つまり対偶が真であることが証明されたので、もとの命題も真ということになります。

少し難しいなと思った人は、実際にxに数字を当てはめてみるとわかりやすいかもしれません。
x=2,3など、どの数字を代入しても、この命題は成り立ちます。
実際にやってみてくださいね。

「空集合はどのような集合Aに対しても、その部分集合になる」
この関係はぜひ覚えておきましょう。

空集合の練習問題

では、空集合の練習問題を解いていきましょう。

問題 

次の集合の部分集合をすべてあげよ。

(1) {2,3}  

(2) {4,5,6}

解答

(1) $\varnothing$ , {2} , {3}  ,  {2,3}  

(2) $\varnothing$ , {4} , {5} , {6} , {4,5} , {4,6} , {5,6} , {4,5,6}

解説

まず部分集合について説明します。
集合Aのすべての要素が集合Bの要素になっているとき、AはBの部分集合といいます。

部分集合は要素を1つだけもつ集合や、要素がすべて含まれる集合などがあります。
つまり部分集合は1つだけではありません。

では実際に問題を解説していきます。

(1) {2,3}の部分集合は下記の3通りがあります。

要素を1つももたない空集合$\varnothing$
要素を1つだけもつ{2}、{3}
要素をすべて含む{2,3}の合計4つが解答になります。

(2) {4,5,6}の部分集合は下記の4通りがあります。

要素を1つももたない空集合$\varnothing$
要素を1つだけもつ{4}、{5}、{6}
要素を2つもつ{4,5}、{4,6}、{5,6}
要素をすべて含む{4,5,6}の合計8つが解答になります。

空集合のまとめ

空集合について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

  1. 空集合とは要素をもたない集合のことです。
  2. 空集合は記号$\varnothing$で表します。
  3. どのような集合Aについても、空集合はAの部分集合と考えられます。

これまでの内容で空集合について理解していただけたでしょうか?
空集合は漢字の意味を用いて、「空っぽの集合」と覚えておくといいかもしれませんね。
空集合と部分集合の関係はすこし難しかったかもしれませんが、自分なりに理解を深めてみてください。

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