[数1]数と式の公式と用語一覧

数1で最初に習う数と式の公式と用語の一覧です。最初でつまづいて、数学がわからない連鎖に入らないためにも、しっかり学んで得点アップ、成績アップしていきましょう！

式の計算

整式

整式は単項式と多項式を合わせたもののことです。

[数1]整式とは？整式の整理と意味を解説

単項式・・・数、文字、数や文字を掛け合わせた式　$-3$, $2x^3$, $52a$
多項式・・・複数の単項式を足してできた式　$x+1$, $3x^2-2x+3$

※参考記事
[数1]単項式とは？単項式の次数と係数、乗法、除法を解説

[数1]多項式とは？次数、項、係数、単項式や整式との違いを解説

[数1]単項式と多項式｜単項式と多項式の違い、乗除の計算を解説

単項式の数を係数といいます。掛けた文字の個数が単項式の次数です。

※参考記事
[数1]次数と係数の関係｜単項式、多項式、定数項、同類項との関係

多項式の中の単項式１つ１つを項といいます。文字を含まない項を定数項といいます。

整式の中で文字が同じ項を同類項といいます。同類項をまとめて、次数の高いものから低いものに並べることを「降べきの順に整理する」といいます。（次数の低いものから高いものに並べるときは昇べきの順）

※参考記事
[数1]定数項とは？求め方、定数項の意味と多項式との関係を解説

[数1]同類項とは？多項式の同類項をまとめる問題、計算方法を解説

整式の項の中で次数が一番高いものが整式の次数となり、次数が$n$の整式を$n$次式といいます。

整式の加法・減法

整式の同類項を計算して整理します。

例）$A={2x}^2-5x+2$, $B={6x}^2-2x+3$ の和と差をもとめよ。

和　$A+B=\left(2x^2-5x+2\right)+\left(6x^2-2x+3\right)=2x^2+6x^2-5x-2x+2+3=8x^2-7x+5$

差　$A-B=\left(2x^2-5x+2\right)-\left(6x^2-2x+3\right)=2x^2-6x^2-5x-\left(-2x\right)+2-3=-4x^2-3x-1$

指数法則

$m$, $n$を整数とするとき

① $a^n\times a^m=a^{m+n}$
② $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
③ $\left(ab\right)^n=a^n b^n$

例）① $x^2\times x^3=x^{2+3}=x^5$ ② $\left(a^2\right)^3=a^{2\times3}=a^6$ ③ $\left(-2x\right)^3=\left(-2\right)^3\times x^3=-8x^3$

※参考記事
[数1]指数法則とは？分数、証明、問題を解説

分配法則

例１）$2x\left(x+1\right)=2x\bullet x+2x\bullet1=2x^2+2x$

例2）$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)=x\bullet2x+x\bullet5+3\bullet2x+3\bullet5=2x^2+5x+6x+15={2x}^2+11x+15

※参考記事
分配法則とは？証明と問題、逆、分数、割り算を簡単に解説

展開の公式

• $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$
• $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$
• $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$
• $\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+\left(a+b\right)x+ab$
• $\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd$

例）

• $\left(x+3\right)^2=x^2+2\bullet3\bullet x+3^2=x^2+6x+9$
• $\left(2x-3\right)^2=\left(2x\right)^2-2\bullet3\bullet2x+3^2=4x^2-12x+9$
• $\left(2a+3b\right)\left(2a-3b\right)=\left(2a\right)^2-\left(3b\right)^2=4a^2-9b^2$
• $\left(x+5\right)\left(x-3\right)=x^2+\left(5-3\right)x+5\bullet\left(-3\right)=x^2+2x-15$
• $\left(2x+3\right)\left(x+4\right)=2x^2+\left(2\bullet4+3\bullet1\right)x+3\bullet4=2x^2+11x+12$

※参考記事
[数1]展開公式｜高校数学、公式一覧、3つ、4つ、三乗を紹介

因数分解

因数分解の公式は以下の5つを覚えておくと良いでしょう。

• $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
• $acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

例：

• $x^2+8x+16=x^2+2\cdot4\cdot x+4^2=(x+4)^2$
• $x^2-10xy+25y^2=x^2-2\cdot5\cdot x\cdot y+(5y)^2=(x-5y)^2$
• $4x^2-81=(2x)^2-9^2=(2x+9)(2x-9)$
• $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ ・・・・掛けて10、足して7になる2つの数は2と5
• $3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)$・・・・たすき掛けを利用

※参考記事
[数1]因数分解とは？公式やたすきがけなど、5つのやり方を解説

因数分解公式一覧（高校数学）

たすきがけで解く因数分解の練習問題25問｜難問あり！

実数

実数

実数とは、有理数（$a/b$という形で表せる数）と無理数（有理数では表せない数）を合わせたものです。有理数には、整数（$0,\pm1,\pm2,\pm3,\dots$）、有限小数（小数点以下が有限桁で終わる小数）、循環小数（ある桁から同じ数字が繰り返される小数）が含まれます。無理数は、循環せずに無限に続く小数です。

数直線と絶対値

数直線

数直線とは、直線上に原点Oと呼ばれる点を取り、原点を基準に右方向に正の数、左方向に負の数の目盛を付けた直線です。

絶対値

絶対値とは、原点Oと点$\alpha$の距離を$\alpha$の絶対値といい、$|\alpha|$で表します。

• $a\ge 0$のとき、$|a|=a$
• $a<0$のとき、$|a|=-a$

例えば、$|5|=5$かつ$|-5|=-(-5)=5$です。絶対値は0からの距離なので必ず正の値になります。

※参考記事
絶対値とは？意味と計算を分かりやすく解説

1次不等式

不等式の性質

① $A<B$ のとき $A+C<B+C$, $A-C<B-C$ 両辺に同じ数を足しても引いても不等号の向きは変わりません。

② $A<B$ のとき

• $C>0$ ならば $AC<BC$, $\frac{A}{C}<\frac{B}{C}$
• $C<0$ ならば $AC>BC$, $\frac{A}{C}>\frac{B}{C}$ 両辺に同じ負の数を掛けたり、両辺を同じ負の数で割ると不等号の向きが逆になります。

1次不等式の解法

$3x-5>5x-3$ような1次不等式を満たす$x$の値を下記の手順で求めます。

(1) 左辺に$x$を含む項、右辺に定数項を移項します。

$3x-5-5x+3>0$
$-2x-2>0$

(2) $x$の係数で両辺を割ります。係数が負の数のときは不等号の向きが変わります。

$-2x-2<0$
$x>1$

※参考記事
不等式とは？方程式との違い、問題と解き方、計算方法と不等式の性質

例）

①　$2x-5<-x+1$
　　$2x+x<1+5$
　　$3x<6$
　　$x<2$

②　$2x-7\leqq4x-1$
　　$2x-4x\leqq-1+7$
　　$-2x\leqq6$
　　$x\geq-3$

③　$\frac{5x-4}{3}<x+2$
　　$3\left(\frac{5x-4}{3}\right)<3\left(x+2\right)$
　　$5x-4<3x+6$
　　$5x-3x<6+4$
　　$2x<10$
　　$x<5$

④　$0.6x-1.9<x-0.3$
$10\left(0.6x-1.9\right)<10\left(x-0.3\right)$
$6x-19<10x-3$
　 $-4x<16$
　　$x>-4$

③、④のように係数に分数や少数が含まれる場合は、分母を払ったり、少数を整数に直すなど工夫をして計算します。

連立不等式

それぞれの不等式を解き、数直線を使って共通する範囲を求めます。

例）連立不等式 $5x+3<3x-12x+5\geq-x-10$ を解け。

解： $5x+3<3x-1$ より $2x<-4$

$x<-2$ ・・・①

$2x+5\geq-x-10$ より $3x\geq-15$

$x\geq-5$ ・・・②

①,②より共通範囲は $-5\leq x<-2$