[数1]二次方程式と二次不等式の用語・公式の一覧(全網羅)

二次方程式と二次不等式の用語と公式の一覧を解説していきます。

1記事で全て網羅できるのでおすすめですよ。

二次方程式

2次方程式$a x^2+b x+c=0$の解き方は3通りの方法があります。

① 因数分解の利用

$a x^2+b x+c=\left(e x+f\right)\left(g x+h\right)$のとき、$\left(ex+f\right)\left(gx+h\right)=0$の解は 　$x=-\frac{f}{e}\ ,\ -\frac{h}{g}$

② 平方根の利用

方程式$x^2=a$ の解は$x=\pm\sqrt a$

③ 解の公式の利用

因数分解できないときは解の公式を使います。
$a x^2+b x+c=0$の解は$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\left(b^2-4ac\geqq0\right)$

※参考記事
[数1]二次方程式の解き方の見分け方｜因数分解？解の公式？もう悩まない！

[数1]二次方程式の解き方一覧(平方完成・因数分解・解の公式)

[数1]二次方程式の解の公式の証明｜証明する3つの方法

例題

次の2次方程式を解け。

① $x^2+10x+24=0$
$\left(x+4\right)\left(x+6\right)=0$
$x=-4,-6$

② $\left(2x+1\right)^2-9=0$
$\left(2x+1\right)^2=9$ $2x+1=\pm3$ $2x=-1\pm3$
$x=1,-2$

③ $x^2+3x-1=0$ $x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times1\times\left(-1\right)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$

グラフと二次方程式

グラフと2次方程式の関係

2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点があるとき、その共有点の$x$座標は2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解です。

また、2次関数のグラフが$x$軸と共有点を持たないとき、2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解はありません。

2次関数のグラフが$x$軸と2点$(\alpha,0),(\beta,0)$で交わるとき、関数は$y=a\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)$と表せます。2次関数のグラフが$x$軸と1点$(\alpha,0)$で接するとき、関数は$y=a\left(x-\alpha\right)^2$と表せます。

2次関数のグラフと$x$軸の位置関係

2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の位置関係について、$D=b^2-4ac$とすると、

①　$D>0$のとき⇔異なる2点で交わります。（共有点の個数：2個） ・$ax^2+bx+c=0$の解は2個で、$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$です。

②　$D=0$のとき⇔1点で接します。（共有点の個数：1個） ・$ax^2+bx+c=0$の解は1個で、$x=\frac{-b}{2a}$です。

③　$D<0$のとき⇔共有点はありません。（共有点の個数：0個）
$ax^2+bx+c=0$の解はありません。

※参考記事
[数1]二次不等式のパターン、解と判別式とグラフの関係を解説

例題

① $y=x^2-5x+1$のグラフと$x$軸との共有点の個数は$D=(-5)^2-4\times1\times1=21>0$であるから、2個です。 　　方程式$x^2-5x+1=0$の解は$\ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$

② $y=2x^2-8x+8$のグラフと$x$軸との共有点の個数は$D=(-8)^2-4\times2\times8=0$であるから、1個です。
方程式$x^2-8x+8=0$の解は因数分解して、$2(x-2)^2=0$より、$x=2$

③　$y=-2x^2+x-1$のグラフと$x$軸との共有点の個数は $D=1^2-4\times(-2)\times(-1)=-7<0$であるから、0個です。 　方程式$x^2+x-1=0$の解はありません。

グラフと二次不等式

2次関数のグラフがｘ軸と2点で交わるとき

$y=ax^2+bx+c$ $(a>0)$ のグラフが $x$ 軸と、異なる2点 $\alpha,\beta$　（$\alpha<\beta$）で交わるとき

①　2次不等式　$ax^2+bx+c>0$　の解は　「$x<\alpha$ または $\beta<x$」

②　2次不等式　$ax^2+bx+c<0$　の解は　「$\alpha<x<\beta$」

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【例題】

次の2次不等式を解け。

①　$x^2-6x+8>0$

因数分解すると

$(x-2)(x-4)>0$
$y=(x-2)(x-4)$ のグラフは図のようになる。

よって、$x^2-6x+8>0$ の解は $x<2$ または $4<x$

②　$-x^2+5x-4>0$

両辺に $(-1)$ を掛けると、

$x^2-5x+4<0$

因数分解して

$(x-1)(x-4)<0$

$y=(x-1)(x-4)$ のグラフは図のようになる。

よって、$x^2-5x+4<0$ の解は $1<x<4$

2次関数のグラフがx軸と接するとき

$y=ax^2+bx+c$ $(a>0)$ のグラフが $x$ 軸と1点 $\alpha$ で接するとき

①　$ax^2+bx+c>0$ の解は　「$\alpha$ 以外のすべての実数」

　（$x=\alpha$ のとき、$ax^2+bx+c=0$ となるので $x=\alpha$ は不等式を満たしません。）

②　$ax^2+bx+c\geq0$ の解は　「すべての実数」

　（$x$ がどのような実数でも不等式を満たします。）

③　$ax^2+bx+c<0$ の解は　「ない」

　（不等式を満たす実数は存在しません。）

④　$ax^2+bx+c\leq0$ の解は　「$x=\alpha$」

　（$x<\alpha$ となる実数はないが、$x=\alpha$ は $ax^2+bx+c=0$ となるので、唯一不等式を満たす実数です。）

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【例題】

次の2次不等式を解け。

• $x^2-6x+9>0$
• $x^2-6x+9\geq0$
• $x^2-6x+9<0$
• $x^2-6x+9\leq0$

【解答】

2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないとき

$y=ax^2+bx+c$ $(a>0)$ のグラフが $x$ 軸と交わらないとき

①　2次不等式　$ax^2+bx+c>0$　かつ $ax^2+bx+c\geq0$ の解は　「すべての実数」

　（$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸の上にあるので、常に $y>0$ です。）

②　2次不等式　$ax^2+bx+c<0$　かつ $ax^2+bx+c\leq0$ の解は　「ない」

　（$y<0$ 満たす実数は存在しません。）

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【例題】

次の2次不等式を解け。

①　$x^2-6x+10>0$

$x^2-6x+10=0$ を解の公式で解くと

$x=\frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}$ となり実数解はない。

$y=x^2-6x+10$ グラフは $x$ 軸と共有点を持たず、$x$ 軸の上側にある。

よって、不等式 $x^2-6x+10>0$ の解は、すべての実数。

②　$x^2-6x+10<0$

　　解はない。