[数1]二次関数の用語・公式一覧

二次関数の公式と用語の一覧を紹介します。
ぜひテスト前や勉強の際に役立てて、成績アップを狙ってください！

関数とグラフ

y=ax+bのグラフ

1次関数 $y=ax+b$（$a$, $b$は定数）<br> $a$・・・傾き、$b$・・・切片

① $a>0$ のとき　グラフは右上がりの1次関数<br> ② $a<0$ のとき　グラフは右下がりの1次関数<br> ③ $a=0$ のとき　グラフは$x$軸に平行な直線で1次関数ではない。（$y=b$は定数関数）

※参考記事
[中2]一次関数のグラフ｜書き方と求め方を分数の場合も解説

y=ax^2 のグラフ

$y=ax^2$ のグラフは頂点が原点O、軸が$y$軸の放物線で、<br> $a>0$ のとき下に凸、$a<0$のとき上に凸です。

※参考記事
[数1]二次関数の頂点座標と軸を求める3つの方法【超簡単】

y=ax^2+q のグラフ

$y=ax^2+q$ のグラフは$y=ax^2$のグラフを$y$軸方向に$q$だけ平行移動したグラフです。<br> 頂点は$(0,q)$、軸は$y$軸($x=0$)です。

※参考記事
[数1]二次関数グラフの平行移動｜わかりやすく具体例で解説

y=a(x^2-p)のグラフ

$y=a(x^2-p)$のグラフは$y=ax^2$のグラフを$x$軸方向に$p$だけ平行移動したグラフです。<br> 頂点は$(p,0)$、軸は直線$x=p$です。

y=a(x-p)^2+qのグラフ

$y=a(x-p)^2+q$のグラフは$y=ax^2$のグラフを$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動したグラフです。<br> 頂点は$(p,q)$、軸は直線$x=p$です。

【例】

① $y=2(x-3)^2+2$ のグラフは$y=2x^2$のグラフを$x$軸方向に3、$y$軸方向に2平行移動したグラフです。
頂点：$(3,2)$　軸：$x=3$

② $y=-(x+3)^2-2$ のグラフは$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$-2$平行移動したグラフです。
頂点：$(-3,-2)$　軸：$x=-3$

y=ax^2+bx+c のグラフ

$y=ax^2$を平行移動したグラフです。平方完成を利用して、$y=a(x-p)^2+q$の形に変形します。<br> 平方完成すると、$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$<br> 頂点は$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$、軸は$x=-\frac{b}{2a}$です。

【例】

① $x^2-2x+3=(x-1)^2-1^2+3=(x-1)^2+2$
頂点：$(1,2)$　軸：$x=1$

② $2x^2+2x-5=2(x^2+x)-5$
$=2\left\{(x+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2\right\}-5$
$=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-5$
$=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{11}{2}$

頂点：$(-\frac{1}{2},\frac{11}{2})$　軸：$x=-\frac{1}{2}$

※参考記事
[数1]平方完成のやり方と平方完成の公式3つ｜分数にも使える

二次関数の最大値・最小値

2次関数の最大値はグラフの一番高いところのyの値で、最小値はグラフの一番低いところのyの値です。

定義域がある場合とない場合に分けて解説していきます。

定義域の制限なし

$y=a\left(x-p\right)^2+q$の最大値、最小値は

① $a>0$の場合（頂点が最小値）$x=p$のとき最小値$q$, 最大値　なし

② $a<0$の場合（頂点が最大値）$x=p$のとき最大値$q$, 最小値　なし

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【例】

①　$y=2\left(x-1\right)^2+1$の最大値、最小値は $x=1$のとき最小値　$1$ , 最大値　なし

②　$y=-\left(x+3\right)^2-1$の最大値、最小値は $x=-3$のとき最大値　$-1$　,　最小値　なし　

定義域の指定あり

定義域が指定されている場合、グラフの頂点（または軸）の位置と定義域の両端の位置関係に注目して、最大値と最小値を求めます。

$y=a\left(x-p\right)^2+q　h\leq x\leq k$ $a>0$のとき、下の5パターンが考えられます。

$a<0$のときはグラフが上に凸で、最大値と最小値が入れ替わります。

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【例】

$y=x^2-4x-1\left(1\leq x\leq4\right)$の最大値、最小値

平方完成して、$y=\left(x-2\right)^2-5$
頂点$\left(2,-5\right)$、軸$x=2$の放物線

図より、$x=4$で最大値, $x=2$で最小値をとる。

$x=4$のとき、$y=4^2-4\times4-1=-1$
よって、$x=4$で最大値$-1$
$x=2$で最小値$-5$

※参考記事
[数1]二次関数の最大値最小値の求め方を解説、定義域がある場合

二次関数の決定

与えられた条件を満たす2次関数の求め方は以下のパターンがあります。

頂点や軸が与えられた場合

$y=a\left(x-p\right)^2+q$(基本形)の式を使います。

【例】

頂点が(2,－3)で、点(3,－1)を通る2次関数は与えられた頂点の条件より$y=a\left(x-2\right)^2-3$と表せます。

この2次関数が点(3,－1)を通るので$-1=a\left(3-2\right)^2-3$

よって、$a=2$ したがって、求める2次関数は、$y=2\left(x-2\right)^2-3$

グラフ上の3点が与えられた場合

$y=ax^2+bx+c$ (一般形) の式を使います。

【例】

3点$\left(0,-3\right),\left(-3,6\right),\left(-2,1\right)$を通る2次関数は$y=ax^2+bx+c$にそれぞれの点を代入すると 　

$-3=c$・・・①
$6=9a-3b+c$・・・②
$1=4a-2b+c$・・・③

①を②,③に代入して整理すると
$9a-3b=9$
$4a-2b=4$ 　

⇒
$3a-b=3$・・・④
$2a-b=2$・・・⑤

④,⑤の連立方程式を解いて$a=1\ ,\ b=0$したがって、求める2次関数は$y=x^2-3$

３．x軸との交点が与えられた場合

$y=a\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)$ (分解形)を使います。

【例】

$\left(-1,0\right),\left(2,0\right),\left(1,1\right)$を通る2次関数は$\left(-1,0\right),\left(2,0\right)$がx軸との交点なので、$y=a\left(x+1\right)\left(x-2\right)$と表せます。

点$\left(1,1\right)$を通るので、$1=-2a$ よって、$a=-\frac{1}{2}$ したがって、求める2次関数は　$y=-\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

※参考記事
[数1]二次関数の決定をわかりやすく解説、３点、平行移動、頂点の問題