数Iの中でもかなり難しいのが三角比です。
受験までに解けるようになりたい・・・
テストまでに三角比を理解したい・・・
この記事では、そんな三角比のイメージを掴むことができ、三角比が得意になります。ぜひ苦手を得意にして、成績アップを目指していきましょう。
三角比
サインコサインタンジェントの意味
サインコサインタンジェントは正確に書くと、
- \(\sin\)（サイン）
- \(\cos\)（コサイン）
- \(\tan\)（タンジェント）
です。
$$①A:B\\②B:C\\③C:A$$の3つの比が出来ます。
この\(①②③\)がそれぞれ\(\sin, \cos, \tan \)になるイメージです。
※参考記事
[数1]サインコサインタンジェントとは？表、公式、覚え方をわかりやすく解説
三角比の基本公式3つ
ここで、絶対に覚えておくべき三角比の基本公式を3つ紹介します！
- \(\sin(90°-\theta)=\cosθ\)
- \(\cos(90°-θ)=\sinθ\)
- \(\tan(90°-θ)=\displaystyle \frac{1}{\tanθ}\)
この3つです。
証明など詳しい解説は下記を参考にしてください。
※参考記事
三角比の基本公式３選
三角比の相互関係｜3つの公式
続いても公式です。
こちらの公式は覚えられるなら暗記してしまっても良いと思います。
もちろん理解してしまっても大丈夫ですよ！
相互関係の公式はこちらの3つです。
- \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
- \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
- \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)
さっきの公式に比べたら少し複雑に見えますね。
相互関係の証明など、詳細は下記の記事を参考にしてください。
※参考記事
[数1]三角比のsin,cos,tan｜相互関係と重要公式
鈍角の三角比（三角比の拡張）
鈍角を考える場合は円で考える必要があります。
鈍角がある三角形は直角三角形にならないからです。
下の図が三角比の定義になっており、三角関数の拡張です。
原点を中心とした、半径rの半円を考えます。
この円の上に点P（X, Y)を適当に置きます。原点Oと点Pを結ぶ線を引いた時、x軸と線OPから成る角度を\(\alpha\)とします。
この時の三角関数はそれぞれ、
\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}
鈍角の場合も同じです！
\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}
詳細な解説は下記の記事が参考になります。
三角形への応用
正弦定理
△ABCの外接円の半径をRとすると $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$ すなわち $a=2R\sin{A}\ \ ,\ \ b=2R\sin{B}\ \ ,\ \ c=2R\sin{C}$
例）A=45°,B=60°,a=2のとき bとRを求めよ。 $2\sin45°=b\sin60°$ $b=2\div\sin45°\times\sin60°=2÷\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt3}{2}=2\times\sqrt2\times\frac{\sqrt3}{2}=6$ $2R=2\sin45°$ より $R=2\div\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{1}{2}=2\times\sqrt2\times\frac{1}{2}=\sqrt2$
※参考記事
[数1]正弦定理の公式と証明
余弦定理
△ABCにおいて、 $a^2=b^2+c^2-2bc\bullet\cos{A}\ \ $ $b^2=a^2+c^2-2ac\bullet\cos{B}\ \ $ $c^2=a^2+b^2-2ab\bullet\cos{C}$ さらに $\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ $\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
例）△ABCにおいて、b=3,c=5,A=120°であるとき、辺BCの長さaを求めよ。
解答
$a^2=b^2+c^2-2bc\bullet\cos{A}$より $a^2=3^2+5^2-2\bullet3\bullet5\bullet\cos120°=9+25-30\times(-\frac{1}{2})=49$ $a>0$ より $a=7$
正弦定理と余弦定理の応用
正弦定理と余弦定理を使って三角形の角や辺を求めることができます。この辺りの応用記事も用意しているので参考にしてください。
※参考記事
[数1]余弦定理で角度を求める2つの方法
[数1]余弦定理で三角形の面積を求める方法
三角形の面積
三角比と余弦定理を使うことで三角形の面積を求めることができます。
三角形の面積の公式
三角形の面積をSとすると、下記の式が成り立つ。
$$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C\\
S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A\\
S=\displaystyle \frac{1}{2}ca\sin B$$
詳しくは下記の記事が参考になります。
※参考記事
三角形の面積を求める公式
ヘロンの公式
ヘロンの公式
三角形ABCの辺の長さをa, b, cとすると、面積Sは下記の式で表すことができる。
\begin{eqnarray}
S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
ここで、s &=& \displaystyle \frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}
ヘロンの公式を使うことで辺の長さだけで面積を求めることができます。
詳しい解説は下記が参考になります。
※参考記事
[数1]ヘロンの公式
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