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[数1]指数法則とは?分数、証明、問題を解説

指数法則とは、指数法則とは、累乗に関係する法則のことで、累乗の計算を簡単にできる便利な法則です。

$x^4\times x^2=x^6$のように、累乗の計算をできるようになります。

今回は指数法則とは何か、分数のときの計算、法則の証明、問題について解説していきます。

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目次

指数法則とは?

指数法則とは、累乗の計算の法則で、以下の5つの式で表される。

5つの指数法則

例えば3番の式を使って計算すると、$(2^2)^3=2^6=64$と計算できます。

指数法則の証明

それでは指数法則を証明していきます。

1式と2式は、同じ方法で証明できます。

$a^p$は$a$を$p$回掛けています。
$\rightarrow a\times a\times a\times a\cdots$(p回)

$a^q$も同様に$a$を$q$回掛けています。

つまり、$a^{p}\times a^{q}$は$a$を$p+q$回掛けていると言えます。
以上より、\(a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}\)となります。


2式は割り算なので、$p-q$になります。

このように、$a$を何回掛けているかを考えることで、指数法則は全て証明ができます。

指数法則の問題

練習問題を解いてみましょう。

練習問題

次の式を計算せよ。

指数法則の練習問題

解答

以下、練習問題の解答になります。

(1) 243

$3^2\times 3^3=3^5=243$

(2) 4096

$(4^3)^2=4^6=4096$

(3) 900

$5^2\times 6^2 = (5\times 6)^2 =900$

解けていましたか?

指数法則のよくある質問

よくある質問
よくある質問
Q
指数法則とは何ですか?
A

指数法則は、指数式や指数を含む式の操作を規定する一連のルールです。これらの規則により、計算や問題を解くために指数式を簡略化したり操作したりすることができます。

Q
指数の法則にはどのようなものがありますか?
A

指数に関する法則には、いくつかの異なる法則があります。指数式の掛け算、割り算、累乗、根の取り方など、指数式を使ってさまざまな演算を行うことができます。

Q
指数法則を使って式を簡略化する方法とは?
A

指数法則は、指数式を簡略化するために使用することができます。例えば、累乗の法則を使って (a^2) × (a^3) という式を a^(2+3) 、つまり a^5 に簡略化することができます。

Q
指数の法則の使用には制限がありますか?
A

指数の法則の使用には、本質的な制限はありません。

Q
指数の法則はどのように証明するのですか?
A

指数の法則は、数学的帰納法という、自然数に関する記述を証明する方法を用いて証明することができます。高校数学レベルのため詳細は割愛します。

指数法則まとめ

数1で習う指数法則について解説してきました。数2では指数が負の数にもなるので、少しややこしくなります。指数法則の基礎はこの記事で確認しておきましょう

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最後に数1の指数法則に関連している記事を紹介して終わろうと思います。

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