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[数2]相加平均と相乗平均の大小関係、証明、いつ使う?わかりやすく解説

相加平均とは、和の平均で①式で表します。

相加平均とは
相加平均とは

相乗平均とは、積の平均で②式で表します。

相乗平均とは
相乗平均とは

今回は相加平均と相乗平均について解説します。
また、相加平均と相乗平均の大小関係について詳しく解説します。

さらに2つの問題で、相加平均と相乗平均の大小関係の式の使い方、使うタイミング、注意すべき点を紹介していくので、ぜひ最後まで読んでください。

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目次

相加相乗平均とは

相加相乗平均とは、「相加平均」と「相乗平均」の2種類の平均を指します。では相加平均と相乗平均とはどのような性質があるのか解説します。

相加平均とは

2つの数a,bについて、①式をaとbの相加平均といいます。

これはaとbの足し算(加)の平均です。
足し算の平均は$a+b=x+x$となる$x$の値です。

$x$について計算すると、下記の式となり相加平均の式と一致します。

例えば、$a=2,b=8$のときの相加平均は$5$です。

一般的に使われる平均と同じですね。

相乗平均とは

2つの数a,bについて、$a>0,b>0$のとき②式を$a$と$b$の相乗平均といいます。

これは$a$と$b$の掛け算(乗)の平均です。

掛け算の平均と言っても$\displaystyle \frac{a\times b}{2}$ではありません。
掛け算の平均は$a\times b=x\times x$となる$x$の値です。

$x$について計算すると下記の式となり、相乗平均の式と一致します。

例えば、$a=2,b=8$のときの相乗平均は、下記の計算の通り4です。

相乗平均には$a>0,\ b>0$という条件がつきます。

これは√の中が正にならなければいけないためです。

相加平均と相乗平均の大小関係

相加平均と相乗平均には次のような大小関係があります。

等号が成り立つのはa=bのときである。

この大小関係が成り立つことを証明します。
左辺-右辺≧0になればこの大小関係が成り立ちます。

大小関係の証明

よって$\displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$

また、等号が成り立つのは$\displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}=0$
つまり$\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$のときであるから、$\sqrt{a}=\sqrt{b}$となり、$a=b$のときである。


これで相加平均と相乗平均の大小関係の証明ができました。

相加平均はいつも相乗平均以上の値になります。
また、相加平均と相乗平均の大小関係の式は、$a>0,b>0$のとき$a+b≧2\sqrt{ab}$の形で用いられることが多いので、この形をしっかり覚えておきましょう。

相加平均と相乗平均はいつ使う?

相加平均と相乗平均はどんなときに使うのでしょうか。2つの練習問題で解説していきます。

問題1

$a>0$のとき、不等式$a+\displaystyle \frac{4}{a}≧4$が成り立つことを証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか。

証明

$a>0,\ \displaystyle \frac{4}{a}>0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係により下記の式となる。

$a+\displaystyle \frac{4}{a}≧2\sqrt{a・\displaystyle \frac{4}{a}}=2・2=4$

よって、$a+\displaystyle \frac{4}{a}≧4$となる。

等号が成り立つのは、$a>0$かつ$a=\displaystyle \frac{4}{a}$
すなわち、$a=2$のときである。


$a+\displaystyle \frac{4}{a}≧4$の式のように、文字が正で逆数の和を含む不等式の証明は相加平均と相乗平均の大小関係を使うのでは?と考えてみましょう。

相加平均と相乗平均の大小関係は最小値を求める問題にも使われます。
<問題2>で解説します。

問題2

a>0のときa+⑲の最小値を求めよ。

解答

$a>0,\ \displaystyle \frac{1}{a}>0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係により下記の式となる。

$a+\displaystyle \frac{1}{a}≧2\sqrt{a・\displaystyle \frac{1}{a}}=2$

等号が成り立つのは$a>0$かつ$a=\displaystyle \frac{1}{a}$
すなわち、$a=1$のときである。(等号が成り立つ値があることを示すことで$a=1$のとき最小値となることがいえます。)

よって、$a+\displaystyle \frac{1}{a}$の最小値は2である。

相加平均と相乗平均の大小関係を使って最小値を求める問題では、必ず、等号が成り立つ値があることを示しましょう。
〈問題1〉も〈問題2〉も文字が正で逆数の和を含む式が問題の中に出てきます。

これが相加平均と相乗平均の大小関係の式$a+b≧2\sqrt{ab}$を使うポイントです。

相加相乗平均まとめ

相加平均と相乗平均とは何か、さらに相加平均と相乗平均の大小関係について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

  1. 相加相乗平均とは相加平均と相乗平均です。相加平均は①、相乗平均は②です。
    $①\ \displaystyle \frac{a+b}{2}$

    $②\ \sqrt{ab}$
  2. 相加平均と相乗平均は$\displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$の大小関係があります。
    $a+b≧2\sqrt{ab}$の形で覚えて使いましょう。
  3. 相加平均と相乗平均は、不等式の証明や最小値を求める問題で使います。問題の式の文字が正で逆数の和の形が出てきたら相加相乗平均の利用を考えてみましょう。

まずは2つの数の相加平均と相乗平均が求められるようにしましょう。さらに相加平均と相乗平均の大小関係の式をしっかり覚えて、証明問題や最小値を求める問題にもチャレンジしてみましょう!

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