[数2]点と直線の距離の公式、原点と直線の距離も解説

点と直線の距離の公式は、入試などで度々登場するとても重要な公式です。

こちらでは、点と直線の距離とはどこの長さなのか、点と直線の距離を求めるための公式とその使い方を紹介します。
公式を覚えれば、使い方は簡単です。

練習問題でも解説するので、ぜひ最後まで読んでくださいね。

点と直線の距離

点と直線の距離の公式とは、「点と直線の距離」を求めるための公式です。
「点と直線の距離」とは、座標平面上の点Pから直線ｌに下ろした垂線の長さです。

下図のように、垂線と直線lの交点をHとしたときのPHの長さです。

点と直線の距離の公式は、とてもよく使われる公式です。正確に覚えて、試験で使えるようにしましょう。

点と直線の距離の公式

上図の点$(x_1,y_1)$と直線$ax+by+c=0$の距離dが「点と直線の距離」です。
点と直線の距離を求める公式は下の2つです。

点と直線の距離

点$(x_1,y_1)$と直線$ax+by+c=0$の距離dは$d=\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
特に、原点(0,0)と直線ax+by+c=0の距離dは$d=\displaystyle \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

公式で使うのは、直線の方程式の係数a,bと定数c,点の座標$(x_1,y_1)$の5つの値です。
この5つの値を公式に当てはめるだけで、点と直線の距離を簡単に求めれます。
当てはめる場所を正確に覚えましょう！

気を付けないといけないのは、直線の方程式が$y=2x-1$のような形になっているときです。
この場合は、$2x-y-1=0$の形に変形してから公式を使いましょう。

点と直線の距離の練習問題

点と直線の距離を公式を使って求めてみましょう。

《問題》

次の点と直線の距離dを求めよ。

(1)点$(1,2)$,直線$3x-4y-1=0$
$x_1=1,y_1=2,a=3,b=-4,c=-1$ですね。公式③にそのまま当てはめましょう。

\begin{eqnarray}
d&=&\displaystyle \frac{|1\cdot3-4\cdot2-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\
&=&\displaystyle \frac{|3-8-1|}{\sqrt{9+16}}\\
&=&\displaystyle \frac{|-6|}{\sqrt{25}}\\
&=&\displaystyle \frac{6}{5}
\end{eqnarray}

(2)原点,直線$3x-2y+9=0$　
原点と直線の距離なので、公式⑤に当てはめます。

\begin{eqnarray}
d&=&\displaystyle \frac{|9|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\\
&=&\displaystyle \frac{9}{\sqrt{9+4}}\\
&=&\displaystyle \frac{9}{\sqrt{13}}(=\displaystyle \frac{9\sqrt{13}}{13})
\end{eqnarray}

(3)原点,直線$y=2x+5$
$y=2x+5→2x-y+5=0$ ・・・直線の式はax+by+c=0の形に変えます。

\begin{eqnarray}
d&=&\displaystyle \frac{|5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\
&=&\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}\\
&=&\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{5}\\
&=&\sqrt{5}
\end{eqnarray}

最後の部分は有理化して約分しています。

※参考記事
有理化｜有理化はなぜ必要か。平方根(ルート)を外す方法を解説

点と直線の距離は、公式さえ正確に覚えれば、計算は簡単ですね。

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