[数2]円の方程式、公式、３点から求め方、一般形、接線を解説

円は今まで図形の問題の中で頻繁に登場していますね。

その円を座標平面上にかくことで、直線の式や放物線と同じようにx,yを使った式で表せます。

この記事では、円の方程式の形、求め方、さらに円の接線の方程式の公式までしっかりマスターできるように解説します。

円の方程式とは

座標平面上の直線を表す式は、直線の方程式といいました。それと同じように、座標平面上の円を表す式のことを円の方程式といいます。

円の方程式は、円の中心の座標と、円の半径を使って表せます。
例えば、図のように点C(1,2)を中心とする半径2の円の方程式を考えてみましょう。

円周上の点をP(x,y)とおくと、CP＝2で、です。
よって下記の式になります。

左辺は2点間の距離の公式から求められます。

これが、中心(1,2)半径2の円の方程式です。

※参考記事

円の方程式（基本形）

点(a,b)を中心とする半径rの円の方程式は
特に、原点(0,0)を中心とする半径rの円の方程式はです。

円の方程式、は展開して整理するとになります。
このように展開された形を一般形といいます。

円の方程式(一般形)

$l,m,n$を定数として、

一般形の式は常に円の方程式を表すとは限らないので、注意してください。
の式を平方完成すると
です。

の円を表します。

を表します。

のときは√の中が負の値なので表す図形がありません。

一般形の式が円の方程式を表しているのは以下の4つの条件が必要になります。

• $x,y$の2次方程式である。
• $x^2$と$y^2$の係数が等しい。
• $xy$の項がない。
• 

一般形の円の方程式から、中心と半径がわかるように基本形に変形する方法を解説します。

一般系の円の方程式の変形

を変形していきましょう。

xの項、yの項、定数に並べ替えて、平方完成を使って変形します。

※参考記事
[数1]平方完成のやり方と平方完成の公式3つ｜分数にも使える

中心(2,-3),半径5の円ということがわかりますね。

この、平方完成を使って変形する方法はとても重要です！たくさん問題を解いてマスターしましょう！

以上のように円の方程式の形は基本形と一般形の2つあります。問題によって使い分けましょう。

円の方程式の求め方2パターン

円の方程式を求める問題を以下の2パターン解説します。

1. 円の中心と、半径から円の方程式を求める。
2. 円を通る3点から円の方程式を求める。

問題を通して確認していきましょう！

円の中心と、半径から円の方程式を求める

次のような円の方程式を求めよ。
(1)中心(2,1),半径3
基本形に$a=2,b=1,r=3$を代入します。

となります。

(2)中心が原点、半径が

に半径を代入するだけです。

公式を覚えていれば、とても簡単ですね。
基本形で求めた答えを展開する必要はありません。

円を通る3点から円の方程式を求める

問題

3点A(1,4),B(3,0),C(4,3)を通る円の方程式を求めよ。

一般形に3点の座標を代入し、連立方程式で$l,m,n$を求めます。

解答

求める円の方程式をとする。

$A\ (1,4)$を代入して

$B\ (3,0)$を代入して

$C\ (4,3)$を代入して

連立方程式を解きます。

求める円の方程式は、である。

円の接線の方程式

円周上の点における接線の方程式を求める公式について解説します。

中心が原点で半径rの円の接線

円上の点Pにおける接線の方程式はとなります。

解説

円周上の点Pをとします。直線OPの傾きはです。
接線はOPと垂直なので、傾きがとなります。
接線は点Pを通り傾きの直線であり、点Pはを通るので
となります。

中心が原点以外の点C(a,b),半径rの円の接線

円上の点Pにおける接線の方程式は

この式は、を$x$軸方向に$a,\ y$軸方向に$b$だけ平行移動したものと考えましょう。

では円の接線の公式を使った問題を解いてみましょう。

練習問題

の円の与えられた点における接線の方程式を求めよ。

解答

(1)にを代入して計算すると

(2)にを代入して計算すると下記のように計算できます。

円の接線の方程式を求める方法は他にもありますが、覚えやすい公式で、素早く求めれるのでぜひ使いましょう！

円の方程式とはのまとめ

円の方程式と接線の方程式について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

1. 円の方程式には、中心(a,b)と半径rがすぐにわかる基本形と、基本形を展開した一般形の2通りがあります。
2. 円の方程式を求めるときは、問題によって基本形と一般形の公式を使い分けましょう。
3. 円の接線の方程式は公式を覚えておくと素早く求めることができます。

円の方程式は、まず基本形を覚えましょう。一般形から基本形に変形する方法も非常に重要なので、何度も練習しましょう！円の接線の方程式は公式を覚えて解けるようにしよう！