cos5π/12を半角の公式で求める方法

cos 5π/12 (cos 75°)の値を計算します。

cos 5π/12 = 1/4(√6-√2)です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。

$\cos\displaystyle \frac{5\pi}{12}$の求め方

$\cos\displaystyle \frac{5\pi}{12}=\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。
半角の公式については、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

半角の公式より、
$\cos ^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{2}$である。

ここで$\theta=\displaystyle \frac{5\pi}{6}$とする。

$\cos ^2 \displaystyle \frac{5\pi}{12}\\$
$=\displaystyle \frac{1+\cos\displaystyle \frac{5\pi}{6}}{2}\\$
$=\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\$
$=\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{4}\\$

$0< \displaystyle \frac{\pi}{12}< \displaystyle \frac{\pi}{2}$より、

$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$であるから、下記の通り計算できる。

$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} =\sqrt{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\$
$=\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{3}})\\$

ここで二重根号を外すと、

$=\displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$=\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

となる。

計算は以上です。
ここから、上記計算に出てきた公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

二重根号の外し方
半角の公式
$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$の理由

二重根号の外し方

$\sqrt{2-\sqrt{3}}$の二重根号の外し方を解説します。

計算の都合上、
$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$とする。

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$とおいて、両辺を2乗する。

\begin{eqnarray}
(\sqrt{4-2\sqrt{3}})^2&=&(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\\
4-2\sqrt{3} &=&a+b-2\sqrt{ab}\\
&=&3+1-2\sqrt{3\times1}\\
∴\sqrt{2-\sqrt{3}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})
\end{eqnarray}

二重根号については下記の記事が参考になります。

>>二重根号の外し方<<

半角の公式

半角の公式は下記の3つの公式のことです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

証明や使い方などの詳しい解説は、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

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