cosπ/12を半角の公式で求める方法

cos π/12 (cos 15°)の値を計算します。

cos π/12 = 1/4(√6+√2)です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。

$\cos\displaystyle \frac{\pi}{12}$の求め方

$\cos\displaystyle \frac{\pi}{12}=\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$です。

この計算を半角の公式を使って求めていきます。
半角の公式については、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

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半角の公式より、
$\cos ^2 \displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos\theta}{2}$である。

ここで$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{6}$とする。

$\cos ^2 \displaystyle \frac{\pi}{12}\\$
$=\displaystyle \frac{1+\cos\displaystyle \frac{\pi}{6}}{2}\\$
$=\displaystyle \frac{1+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\$
$=\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4}\\$

$0< \displaystyle \frac{\pi}{12}< \displaystyle \frac{\pi}{2}$より、

$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$であるから、下記の通り計算できる。

$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} =\sqrt{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\$
$=\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}})\\$

ここで二重根号を外すと、

$=\displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$=\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

となる。

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計算は以上です。
ここから、上記計算に出てきた公式について解説していきます。
(下記をクリックすると、該当箇所まで飛べます。)

1. 二重根号の外し方
2. 半角の公式
3. $\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$の理由

二重根号の外し方

$\sqrt{2+\sqrt{3}}$の二重根号の外し方を解説します。

計算の都合上、
$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$とする。

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$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$とおいて、両辺を2乗する。

\begin{eqnarray}
(\sqrt{4+2\sqrt{3}})^2&=&(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\\
4+2\sqrt{3} &=&a+b+2\sqrt{ab}\\
&=&3+1+2\sqrt{3\times1}\\
∴\sqrt{2+\sqrt{3}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})
\end{eqnarray}

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二重根号については下記の記事が参考になります。

>>二重根号の外し方<<

半角の公式

半角の公式は下記の3つの公式のことです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

証明や使い方などの詳しい解説は、下記の記事が参考になります。

>>半角の公式とは<<

三角関数の定義｜$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$の理由

計算の途中で、
『$0< \displaystyle \frac{\pi}{12}< \displaystyle \frac{\pi}{2}$より、
$\cos \displaystyle \frac{\pi}{12} >0$であるから』と記載がありました。

その理由を説明します。

角度$\displaystyle \frac{\pi}{12} $は点Pのエリアです。

つまりYは正の数のため、$\cos α=\displaystyle \frac{Y}{r}>0$となります。

三角関数の定義については、下記の記事が参考になります。

>>三角関数の定義<<