この記事では三角関数の相互関係の3つの公式を紹介します。最後まで読むと、覚えにくい公式も、仕組みから、導き方、使い方まで一気に理解できます！
最後には問題もあるので、チャレンジして、理解できているかチェックしてみよう！
三角関数の相互関係
三角関数の相互関係とは、sinθ,cosθ,tanθの間に成り立つ以下の3つの公式のことをいいます。
三角関数の相互関係の公式
この公式を使うと、sinθ,cosθ,tanθのうち1つだけ解っているとき、他の2つを求めれます。
sin, cos, tanについては下記の記事が参考になります。
※参考記事
[数1]サインコサインタンジェントとは？表、公式、覚え方をわかりやすく解説
三角関数の問題を解くときに必要不可欠な公式です！
正しく覚えて、実践でいつでも使えるようにしましょう！
相互関係の公式を証明
相互関係の公式の証明をします。
原点を中心とする半径1の円（単位円）の円周と、角θの動径の交点をP(x,y)とします。
①,②,③より三角関数の相互関係が成り立ちます。
相互関係の覚え方
相互関係の公式、3つもあるし、それぞれ形が違って覚えにくいですよね。
単位円の動径と軸で作られた直角三角形を取り出して考えてみましょう。
この関係が分かっていれば、公式は簡単に導けます。
△ABCは直角三角形であるから、三平方の定理より
あと１つ、$1+{tan}^2\theta=\frac{1}{{cos}^2\theta}$は一番覚えにくいですよね。
この式は、${sin}^2\theta+{cos}^2\theta=1$の両辺を${cos}^2\theta$で割って求めることを覚えておきましょう！
そうすれば自分で導けます！
あとは、問題をたくさん解くことで、しっかり頭にいれましょう。
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三角関数の相互関係を使う練習問題
では、練習問題にチャレンジしてみましょう！
練習問題
θの動径が第3象限にあり、$\sin{\theta}=-\displaystyle\frac{4}{5}$のとき、cosθ,tanθを求めよ。
解答
θの動径が第3象限にあるからcosθ<0 よって、下記の通り計算できる
練習問題2
θの動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -2$のとき、sinθ,cosθを求めよ
解答2
$\tan \theta = -2$θの動径が第4象限にあるから$\cos\theta > 0$
よって、下記の通り計算できる。
cosの求め方
sinの求め方
同様の問題をたくさん解いてみましょう！
自然に頭に残って、使えるようになりますよ！
三角関数の相互関係の公式のまとめ
三角関数の相互関係について解説しました。
ポイントは下記の3つです。
- sin,cos,tanのうち1つだけわかっていれば、三角関数の相互関係の公式で他の2つが求めれます。
- 3つの公式は、単位円上の動径によって作られる直角三角形から導けます。
- 公式を覚えるには、仕組みを理解して、問題をたくさん解くことが近道です。
相互関係の3つの公式は、三角関数の問題を解くためには必ず覚えなければいけない公式です。実践で使えるようにしっかり覚えて、得点アップを目指そう！
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