[数2]剰余の定理の証明と使い方、重解の場合はどうするか？

• 剰余の定理が何なのか詳しく知りたい！
• 剰余の定理の証明が知りたい。
• 二次式で割る場合の剰余の定理が重解だった場合のやり方を知りたい
• 剰余の定理の問題を解いていきたい！

\(11\div 3=3\dots2\)ですね。

数式で表すと\(11=3\times3+2\)と書くこともできます。

\(x^2+2x-3\)を\(x-3\)で割った時の余りを求めよ。

\begin{eqnarray} P(x) &=& x^2+2x-3 \\
a &=& 3\ なので \\
P(a) &=& 3^2+2\times3-3\\
&=& 12\end{eqnarray}

多項式\(P(x)\)を\((x-a)\)で割った時の商を\(Q(x)\), 余りを\(b\)とすると以下の式が成り立つ。

$$P(x)=Q(x)\dot (x-a)+b$$

\(x=a\)を代入すると、\((x-a)=0\)となるため、

$$P(a)=b$$

が成立する。

以上より、多項式である\(P(x)\)を\((x-a\)で割ったあまりは\(P(a)\)で表すことができる。

多項式\(P(x)\)を\((ax-b)\)で割った時の商を\(Q(x)\), 余りを\(c\)とすると以下の式が成り立つ。

$$P(x)=Q(x)\dot (ax-b)+c$$

\(x=\displaystyle \frac{b}{a}\)を代入すると、\((ax-b)=0\)となるため、

$$P\left( \displaystyle \frac{b}{a}\right)=c$$

が成立する。

以上より、多項式である\(P(x)\)を\((ax-b)\)で割ったあまりは\( P \left( \displaystyle \frac{b}{a} \right) \)で表すことができる。

\(x^4+2x^2-15\)を\(x^2-2x-3\)で割った時の商を\(Q(x)\), 余りを\(ax+b\)とする。

$$x^4+2x^2-15=Q(x)(x^2-2x-3)+ax+b$$

と書くことができる。

\(x^2-2x-3=0\)の二次方程式を解くと、\(x=3,\ -1\)となる。

\(P(3)=3a+b\), \(P(-1)=-x+b\)であることを利用して、

\begin{eqnarray} P\left( 3\right) &=& 3^4+2\times3^2-15=84 \\
P(-1)&=&(-1)^4+2(-1)^2-15 =-12 \end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray} 3a+b &=& 84 \\-a+b &=& -12 \end{eqnarray}

となる。これを解くと、

\(a=24,\ b=12\)となる。

よって、余りは\(24x+12\)となる

\(x^4+8\)を\((x-1)^2\)で割ったときの商を\(Q(x)\), 余りを\(ax+b\)とする。

$$x^4+8=(x-1)^2Q(x)+ax+b\dots(1)$$

\((x-1)^2=0\)を解くと\(x=1\)であり、

\(P(1)=1^4+8=9\)なので、

$$a+b=9\dots(2)$$

を得ることができる。しかし、これでは解けないので(1)を\(x\)で微分する。

$$4x^3=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a\dots(3)$$

\((3)\)に\(x=1\)を代入すると、\(4=a\)となる。

\((2)\)より、\(a=4,\ b=5\)である。

以上より、余りは\(4x+5\)となる。