[数2]弧度法と60分法との違い

今回は三角関数を学ぶには外せない【弧度法】についての解説です。これまでは三角関数を「度」で扱ってきましたが、今後はこれが変わります。

円は一周で360°ですよね？実はこれは「60分法」と呼ばれる、特殊な表示の仕方です。

360°が一般的な表し方なのに弧度法なんて勉強する必要あるの？と言う質問を受けることが多々あります。数学をあるところまで進めると、弧度法で表す方が圧倒的に便利になります。その代表例が\(\sin x\)の微分ではないかと思います。

別記事にしましたので、時間があれば一読ください。（微分の知識が必要になります。）

https://rikeinvest.com/math/biseki/sin/

本記事では、弧度法について、その変換方法などを説明にしますよ。

（弧度法という考え方を受け入れられるかどうかが、弧度法理解の鍵です。）

弧度法ってなあに？

弧度法、弧度法って言ってますが、弧度法とはなにか・・・

ズバリ「角度の表し方」です。これまでの単位は「度（°）」でしたが、弧度法の単位は「ラジアン(rad)」になります。

弧度法じゃないと困ることがたくさんでてきます。でも実際に角度を考えるときは慣れている６０分法を使う方が、やっぱり便利です。

そこで、慣れるまでは６０分法と弧度法を変換して使いこなしましょう。

弧度法と６０分法の関係

関係の公式は超簡単。

弧度法と６０分法の関係

α°＝θ（ラジアン）とすると

$$θ=\frac{\pi}{180}α$$

$$α°=\frac{180}{\pi}θ$$

となります。式自体はめっちゃ簡単ですよね。じゃあこの式がどこからでてくるのか。

弧度法と60分法の定義

弧度法の定義はそんなに重要ではありません！軽い気持ちで流し読み程度でも大丈夫ですよ。

６０分法の定義

まずは６０分法の定義を確認しておきましょう。

これは「円の１周を360°とする。」が定義です。つまり「1度の大きさ」は円１周の角度を360で割ったものです。

ここで出てくる360ってのは「何となく」決められた値です。4で割ると90だから使いやすいじゃん！みたいなイメージです。

まあ人間が分かりやすくするために決めた、特に重要ではない値が360なのです。

弧度法の定義

弧度法で出てくる（ラジアン）という新しい単位について考えましょう。

「１ラジアンってなあに？」

秒、kg、m と単位はいろいろありますが、全て１がどれくらいを表すかは決められていますね。１秒なら、１kgなら、１mならイメージできると思います。もちろん１度（°）もイメージできますよね。

じゃあ１ラジアンってなんだろう？

答えは下の図になります。

つまり、弧の長さを半径（ここでは\(r\)）で割った値がラジアンです。αが360°だったとすると、円周の長さは2πrですよね。なので、360°（度）＝2π（ラジアン）となります。

例えば60°だったとすると、孤の長さは

$$2\pi r×\frac{60}{360}=\frac{\pi r}{3}$$

この長さはrの\(\frac{\pi}{3}\)倍ですよね。なので、60°ってのは\(\frac{\pi}{3}\)ラジアンです。

こんな計算をしなくても、先ほど紹介した公式を使えば一発です。

弧度法と６０分法の関係

α°＝θ（ラジアン）とすると

$$θ=\frac{\pi}{180}α$$

$$α°=\frac{180}{\pi}θ$$

練習してみよう！

問題

（１）45°＝

（２）90°＝

（３）135°＝

（４）\(\frac{2\pi}{3}\)(rad)＝

（５）\(\frac{2\pi}{5}\)(rad)＝

解答のコツ

ここで分からない人のためにちょっとだけコツを教えましょう。

これは私が学生時代に使っていた考え方何ですが、

$$\pi=180°$$

を代入してみましょう！

\(\frac{\pi}{3}\)なら\(\pi=180°\)を代入して、「あ、60°だ！」ってな具合です。

\(45°\)ならば180で割ってみましょう！そうすると・・・\(\frac{\pi}{4}\)ですね。

答え

（１）45°＝\(\frac{\pi}{4}\)(rad)

（２）90°＝\(\frac{\pi}{2}\)(rad)

（３）135°＝\(\frac{3\pi}{4}\)(rad)

（４）\(\frac{2\pi}{3}\)(rad)＝120°

（５）\(\frac{2\pi}{5}\)(rad)＝72°

となります。

今の段階では、邪魔でしかない弧度法ですが数学では弧度法を使うのが一般的です！使われているものには、使われるだけの理由があります！

なんとしてでも今のうちに習得しておきましょう。今後絶対必要になりますよ。