【積分】sin2xの積分方法を解説

今回は$\sin 2x$を積分する方法を解説していきます。
積分は置換積分を使って計算していきます。

$$\displaystyle\int \sin 2x dx=-\displaystyle \frac{1}{2}\cos 2x+C$$

となります。
それでは計算方法を解説していきます。

※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<

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それでは\(\displaystyle\int \sin 2x dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

sin 2xの積分

まずは$2x=t$とおきます。

これにより、$2dx=dt$となります。
よって$dx=\dfrac{dt}{2}$です。

以上より、\(\displaystyle\int \sin 2x dx\)を計算しましょう。

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\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int \sin 2x dx\\
&=&\displaystyle\int \sin t \cdot \dfrac{1}{2}dt\\
&=&\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sin t dt\\
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \left( -\cos t\right)\\
&=&-\dfrac{1}{2}\cos t\\
&=&-\dfrac{1}{2}\cos 2x
\end{eqnarray}

積分の計算は以上になります！

$\sin x$の積分は$\cos x$の微分の逆だと考えるとわかりやすいです。

※参考記事
[数3]cosの微分｜コサインを微分する方法をわかりやすく解説