[数3]tanxの微分｜タンジェントを微分する2つの方法と150秒の復習動画

今回はtan微分です！

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

上記のタンジェントの微分を2つの方法で導出します。

• 商の微分公式を用いる
• 定義通りに微分する

の2通りです。
この記事を読めばtan微分を覚えなくても計算できるようになりますし、商の微分公式も使いこなせるようになります！

ぜひ最後まで読んでいってください。

tanxの微分｜商の微分公式

では、商の微分公式を使って、タンジェントの微分を解説していきます！

商の微分公式

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、4つの簡単な計算だけで微分できます！

1. 分母を2乗して分母にする
2. 分子を微分して分母と掛ける
3. 分母を微分して分子と掛ける
4. ②から③を引く

詳しい解説
≫関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】≪

では、これを\(\tan x\)に当てはめましょう！

tanxの微分

三角関数の相互関係より、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である。

\((\sin x)’=\cos x\)であり、
\((\cos x)’=-\sin x\)であるため、商の微分公式を使うと下記の式となる。

$$(\tan x)’=\left(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\displaystyle\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

三角関数の公式より、\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、\(\tan x\)を微分すると下記の式となる。

$$(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$$

tanxの微分｜微分の定義

次に微分の定義通りに\(\tan x\)の微分をしていきます。
微分の定義は下記の式です。

嫌になりますね・・・
ゆっくり計算するのでついてきてください。

まずは、定義式に当てはめます。

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

次に\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します！

$$\displaystyle\frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}$$

最後に、上記で作成した式を計算します。

\begin{eqnarray} (\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x-\tan x+\tan ^2x \tan\Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\right)\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1なので\\ &=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\ &=& 1+\tan^2 x\\&=&\frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray}

このように、途中式の量は多いですが、問題なく微分できました。

途中の\(\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)は、下記3つの計算より導出しています。
・\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\cos \Delta x\rightarrow1\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\displaystyle \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)

三角関数の微積クイズ！

参考動画

2分で復習できる動画も作成しましたので、ぜひ参考にしてみてください。