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[数A]チェバの定理と証明、チェバの定理の逆を解説

こちらの記事ではチェバの定理について詳しく解説します。
チェバの定理は公式だけをみると、分数の複雑そうな式に見えます。

しかし、あるコツを知るだけでとても簡単に覚えることができるでしょう。

そしてただ覚えるだけでなく、なぜチェバの定理が成り立つのかも説明しているので最後までご覧ください。理解することで成績アップにつながりますよ!

※参考記事
[数A]メネラウスの定理とその証明をわかりやすく解説、チェバの定理との違いも

目次

チェバの定理とは

三角形の各頂点を通る3本の直線において以下のことが成り立つ定理です。

$△ABC$の3辺$BC$、$CA$、$AB$上にそれぞれ点$P$、$Q$、$R$があり、3直線$AP$、$BQ$、$CR$が1点で交わるならば、$\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$。

チェバの定理の公式を初めてみると難しいと感じる人もいるかもしれませんが、図をかくと簡単に覚えることが可能です。ある点からスタートして三角形を一周するようにスタートの点に戻ります。すると、三角形を一周するときに通ってきた道筋がそのまま公式の辺と同じになります。(図1)

チェバの定理
チェバの定理

それでは具体的な三角形をもとに辺の比を求めてみましょう。

図2のような$AQ:QC=\dfrac{1}{3}$、$AR:RB=\dfrac{2}{3}$の$△ABC$があります。$\dfrac{BP}{PC}$を求めましょう。

チェバの定理の公式より$\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{2}{3}=1$なのでそれぞれの辺に値を当てはめると、

$\dfrac{BP}{PC}\cdot3\cdot\dfrac{2}{3}=1$

よって$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{1}{2}$となるので、$BP:PC=1:2$と求めることができました。

以上のように、チェバの定理は式を覚えてしまえば簡単に辺の比を求められます。

チェバの定理の証明

チェバの定理は三角形の面積の比を用いることで証明できます。$\triangle ABC$の辺$BC$上の点を$P$とし、$AP$上に点$S$をとります。点$B$、$C$から直線$AP$にそれぞれ垂線$BD$、$CE$をひきます。

$\triangle ABS$と$\triangle ACS$において、$AS$を底辺と考えると、$BD$と$CE$がそれぞれ高さになるので、それぞれの三角形の面積は

$\triangle ABS=\dfrac{1}{2}AS\cdot BD$

$\triangle ACS=\dfrac{1}{2}AS\cdot CE$

よって、三角形の面積の比は

$\dfrac{\triangle ABS}{\triangle ACS}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AS\cdot BD}{\dfrac{1}{2}AS\cdot CE}=\dfrac{BD}{CE}$ (式①)

一方、$BD$平行$CE$より、$BD/CE=BP/CP$…(式②)

式①、式②より$\dfrac{\triangle ABS}{\triangle ACS}=\dfrac{BP}{CP}$が成り立ちます。(参考:図3)

同様にして、$CQ/QA=\dfrac{\triangle BCS}{\triangle ABS}$ (参考:図4)、

$AR/RB=\dfrac{\triangle CAS}{\triangle BCS}$ (参考:図5)が成り立ちます。

よって、$BP/PC\cdot CQ/QA\cdot AR/RB=\dfrac{\triangle ABS}{\triangle CAS}\cdot \dfrac{\triangle BCS}{\triangle ABS}\cdot \dfrac{\triangle CAS}{\triangle BCS}=1$。

以上のことから、チェバの定理を示すことができます。この証明も図をイメージしながら考えると理解しやすいのではないでしょうか。

チェバの定理の逆

チェバの定理は以下のように考えることも可能です。

三角形ABCの3辺$BC$、$CA$、$AB$上にそれぞれ点$P$、$Q$、$R$があり、このとき$BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1$が成り立つならば、3直線$AP$、$BQ$、$CR$は1点で交わります。

これをチェバの定理の逆といいます。

図6を見ながら確認していきましょう。

2直線$BQ$、$CR$の交点を$S$、直線$AS$と辺$BC$の交点を$P’$とすると、チェバの定理より$BP’ / P’C・CQ / QA・AR / RB=1$が成り立ちます。

また仮定より$BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1$より$BP’ / P’C = BP/PC$となるので、点$P$と$P’$は一致します。

よって、3直線$AP$、$BQ$、$CR$は1点で交わることがわかりました。

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チェバの定理のまとめ

ポイントは下記の3つです。

  1. チェバの定理とは$\triangle ABC$の3辺$BC$、$CA$、$AB$上にそれぞれ点$P$、$Q$、$R$があり、3直線$AP$、$BQ$、$CR$が1点で交わるならば、$BP/PC\cdot CQ/QA\cdot AR/RB=1$が成り立つ定理のことです。
  2. チェバの定理の逆も成り立ちます。
  3. 図をかいて考えることで、さらに理解が深まるでしょう。

チェバの定理は辺の比や面積の比を用いて考えていく必要があります。慣れるまでは難しいと感じるかもしれませんが、図を用いてイメージしながら繰り返し問題を解いてみてください。

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