今回は階乗（かいじょう）の解説です！
解説する内容は3点！
- 階乗とは何か
- 階乗の計算方法
- \(0!=1\)になる理由
例題を豊富に使って、わかりやすく解説していきますよ！
階乗とは
階乗は『数字 or 文字 + !』で表す計算方法です。
ある数字から\(1\)までを全て掛け算することを表しています。
実際の例を見てみましょう。
ｎの階乗$$n!=n \times(n-1)\times\dots\times2\times1$$
このように\(n\)から\(1\)までの自然数の積をｎの階乗と呼びます。
これが\(5!\)なら5の階乗と言い、計算は下記のようになります。
$$5!=5 \times4\times3\times2\times1=120$$
ここからは例題を使って計算方法の理解を深めていきましょう！
階乗の計算方法｜例題４問
次の値を求めよ。
（１）\(4!\)
答え：(24)
$$4!=4\times3\times2\times1=24$$
（２）\(6!\)
答え：(720)
$$6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=24$$
（３）$$\frac{9!}{7!}$$
答え：\(72\)
$$\begin{eqnarray}
\frac{9!}{7!}&=&\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}\\&=&9\times8\\&=&72\end{eqnarray}$$
（４）$$\frac{n!}{(n-1)!}$$
答え：\(n\)
$$\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n\times\dots\times1}{(n-1)\times\dots\times1}=n$$
なんとなく階乗について分かってきましたか？
\((3)\)と\((4)\)の問題は、確率で必須のPの計算やCの計算で実際に使われる計算です！
階乗についてわかってきたところで、\(0!\)（\(0\)の階乗）を考えてみましょう。
直観的には、\(0\)になりそうですが、
$$0!=1$$
が答えになります。
なぜ1になるのか解説しますね！
0の階乗が1になる理由
なぜ\(0!=1\)となるのか・・・
それは、「そう定義した方が色々便利だったから」です！
詳しく説明していきます！
例えばさっきの（４）の例題。\(\frac{n!}{(n-1)!}\)の答えはｎです。つまり、
「n=3なら答えは3」
「n=100なら答えは100」になります。
では、\(n=1\)ならどうでしょう。
そりゃ答えは1ですよね。
それは、\(0!=1\)だから答えが\(1\)になるのです。
では、もし仮に\(0!=0\)だったらと考えてみましょう。
0の階乗を例題で考える
先ほどの例題（４）で\(n=1\)であり、\(0!=0\)だったと仮定して解いてみます。
（４）$$\frac{n!}{(n-1)!}$$
この時、\(n=1\)とすると、
\(\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{1!}{0!}=\frac{1}{0}\)
となります。
分母が\(0\)になるため数学で禁止されています。（※\(n\neq1\)とする）みたいな注意書きが必要になります。
この他にも\(0!=0\)だと色々な注意書きが必要になるのです。
だから昔の偉い数学者が「\(0!=1\)にしようぜ！楽だし^^」と決めたんですね。
多分・・・
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階乗｜まとめ
階乗について解説しました。
解説した内容
- 階乗とは何か
- 階乗の計算方法
- \(0!=1\)になる理由
少し掛け算がめんどくさいところもありますが、許される場合は電卓を使ってしまいましょう。
使える道具は使わないと損です！効率的にやるために、許されている場面では電卓はジャンジャン使いましょう。
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