[数A]順列とは？計算方法、pの意味、公式、組み合わせとの違いを解説

この記事では、場合の数を解くときに使う順列について解説します。

順列の公式や計算方法だけでなく、組み合わせとの違いも合わせて説明しています。

組み合わせと順列は混同してしまうことが多いので、この記事で使い分け方を理解しておきましょう！

順列とは？

順列とは、いくつかのものを順序をつけて1列に並べた配列のことです。

例えばa、b、cの3つの文字を順序をつけて並べると、

1. $(a,b,c)$
2. $(a,c,b)$
3. $(b,a,c)$
4. $(b,c,a)$
5. $(c,a,b)$
6. $(c,b,a)$

上記の6通りの順列ができますね。 1つずつ数えることもできますが、この順列の個数は計算でも求められるんです。

1文字目が何通りあるか、2文字目が何通りあるかと計算していく方法です。

1番目の文字は$a,\ b,\ c$の3通り。
2番目の文字は$a,\ b,\ c$から1番目に選ばれた文字を除いた2通り。
3番目の文字は、最後に残った1通り。

よって、a,b,cの順列の総数は$3×2×1＝6$という式で表せます。

また、異なるn個のものからr個取り出して並べた順列を、「n個からr個とる順列」といい、その個数を${}_nP_r$と表します。 順列の総数は$_nP_r=n(n-1)(n-2)…(r-n+1)$という公式で求められるのです。

例に挙げたa,b,cの順列に当てはめてみましょう。
異なる3個から3個取り出して並べた順列なので$_3P_3$と表され、$_3P_3=3×2×1＝6$通り。 実際に数えた順列の総数と同じになりましたね。

順列の計算方法

前項の公式$_nP_r=n(n-1)(n-2)…(r-n+1)$の計算の仕方を解説します。
難しそうな式に見えるかもしれませんが、「nから1ずつ減らした数の掛け算を、r回行う」と考えると覚えやすいです。

順列の計算例

例えば、下記のような計算ができます。

① 5人から3人を選んで1列に並べるとき。

5から1ずつ減らす掛け算を3回行います。
$_5P_3=5・4・3=60$通り。

② 7人から5人を選んで1列に並べるとき。

7から1ずつ減らす掛け算を5回行います。
$_7P_2=7・6・5・4・3＝2520$通り。

③ 4人から4人を選んで1列に並べるとき。4から1ずつ減らす掛け算を4回行います。
$_4P_4=4・3・2・1=24$通り。

また、このような$n$と$r$が等しい順列の場合は、$_nP_r=n!$(nの階乗)とも表されます。

※参考記事
[数A]階乗｜階乗とは、0の階乗が1になる理由も解説

順列と組み合わせの違い

順列と似た計算に組み合わせがあります。

簡単に言うと、順列は「順番をつけて並べたもの」。
組み合わせは「順番を考慮せずに選んだもの」です。

例えば$a,\ b,\ c$から2つを選ぶとき、順列は6通りです。

1. (a,b)
2. (a,c)
3. (b,a)
4. (b,c)
5. (c,a)
6. (c,b)

順列の公式を用いて計算した場合も、$_3P_2=3・2＝6$通りとなります。

一方、組み合わせは順番を考慮しません。
つまり下記の3つは同じものとして扱われます。

• (a,b)と(b,a)
• (b,c)と(c,b)
• (a,c)と(c,a)

したがって組み合わせの総数は、3通りしかありません。

• (a,b)
• (b,c)
• (c,a)

組み合わせの公式を用いて計算すると、$\displaystyle \frac{3・2}{2・1}=3$通りとなります。

では、どのような問題で順列、組み合わせが使われるのでしょうか。

「5人の生徒を椅子に並ばせるときの並び方」
この問題は順番を考慮するので順列が使われます。

「30人のクラスから2人の学級委員を選ぶときの選び方」
こちらは2人の学級委員に順番はないので、組み合わせを使います。

並べ方→順列
選び方→組み合わせ
と考えてもいいですね。

順列とは？のまとめ

この記事では、順列について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

1. N個からr個とった順列の個数は$_nP_r$と表され、$_nP_r=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)$
2. 順列の公式は「nから1ずつ減らした数の掛け算を、r回行う」と考えることができる。
3. 順序を考慮するのが順列、考慮しないのが組み合わせ。

順列と組み合わせは混同しやすいですが、公式の意味から理解することで間違いを減らすことができます。
なぜこのような公式になるのかを意識しながら覚えましょう。