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[数A]図形の性質の公式と用語一覧、平面図形と空間図形

目次

三角形の辺の比

線分の内分点・外分点

① 内分:$m$, $n$を正の数とします。線分$AB$上の点$P$があり、$AP:PB=m:n$であるとき、点$P$は線分$AB$を$m:n$に内分するといい、点$P$を内分点といいます。

内分点
内分点

② 外分:$m$, $n$を異なる正の数とします。線分$AB$の延長線上に点$Q$があり、$AQ:QB=m:n$であるとき、点$Q$は線分$AB$を$m:n$に外分するといい、点$Q$を外分点といいます。

内分点と外分点

三角形の角の二等分線と比

① $\triangle ABC$の$\angle A$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると、$BD:DC=AB:AC$

角の二等分線

② $AB\neq AC$である$\triangle ABC$の$\angle A$の外角の二等分線と辺$BC$の延長との交点を$D$とすると、$BD:DC=AB:AC$

例)

① $DC=6-x$ であるから $x:6-x=4:5$ $5x=4(6-x)$ $9x=24$ $x=\dfrac{8}{3}$

② $BD=3+x$ であるから $(3+x):x=6:4$ $6x=4(3+x)$ $2x=12$ $x=6$

三角形の外心・内心・重心

※参考記事
[数A]三角形の五心を解説、外心、内心、重心、垂心、傍心

三角形の外心

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わります。この交点を外心といいます。 外心は三角形の外接円の中心です。

三角形の外心

例) $\angle OAC=45^\circ$, $\angle OCB=30^\circ$, $\angle OBA=x$ であるから $2x+30^\circ\times 2+45^\circ\times 2=180^\circ$ よって、$x=15^\circ$

三角形の内心

三角形の3つの角の二等分線は1点で交わります。この交点を内心といいます。 内心は三角形の内接円の中心です。

三角形の内心
三角形の内心

例) $\angle IBA=25^\circ$, $\angle ICA=30^\circ$であるから $\angle ABC=50^\circ$, $\angle ACB=60^\circ$ $x=180^\circ-50^\circ+60^\circ$ $x=70^\circ$

三角形の内心の例
三角形の内心の例

三角形の重心

三角形の3本の中線は1点で交わります。この交点を重心といいます。 三角形の重心は、中線を2:1に内分します。

三角形の重心
三角形の重心

例)

三角形の重心の例
三角形の重心の例

AG:GD=2:1
BD=DC=6

EF //BCより
x:BD=AG:AD
x:BD=2 : (2+1)=2:3
x:6=2:3
x=4

三角形の辺の比の定理

チェバの定理

△ABCの内部に点Oがあり、AO,BO,COの延長とBC,CA,ABとの交点をそれぞれP,Q,Rとするとき $\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$

チェバの定理
チェバの定理の式
チェバの定理の式

例:
$\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{2}=1$
$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{1}{3}$
$BP:PC=1:3$

チェバの定理の例
チェバの定理の例

※参考記事
[数A]チェバの定理と証明、チェバの定理の逆を解説

メネラウスの定理

△ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が、三角形の頂点を通らない直線lと、それぞれ点P,Q,Rで交わるとき $\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$

メネラウスの定理
メネラウスの定理

例:

$\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{BR}{AR}\cdot\dfrac{4}{2}=1$
$\dfrac{BR}{AR}=\dfrac{6}{7}$
$BR:AR=6:7$

メネラウスの定理の例
メネラウスの定理の例

※参考記事
[数A]メネラウスの定理とその証明をわかりやすく解説、チェバの定理との違いも

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三角形の辺と角

三角形の辺の大小関係

1つの三角形において、

① 2辺の長さの和は、他の1辺の長さよりも大きい。
② 2辺の長さの差は、他の1辺の長さよりも小さい。

三角形の辺の大小関係
三角形の辺の大小関係

三角形の辺と角の大小関係

三角形$ABC$において
$b>c\ \Leftrightarrow\ \angle B>\angle C$

三角形の辺の大小関係
三角形の辺の大小関係

円周角の定理

円周角の定理

下図において、円$O$の円周上に$A,B,P$をとったとき、$\angle AOB$を弧$AB$に対する中心角、$\angle APB$を弧$AB$に対する円周角といいます。

円周角の定理
円周角の定理

同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しく、その弧に対する中心角の大きさの半分です。

円周角の定理
円周角の定理

線分$AB$が直径となる場合は円周角は$90°$となります。

円周角の定理
円周角の定理

例:
$\angle ABC=\angle ADC=30°$
$BC$は円の直径なので$\angle BAC=90°$
よって$x=180°-90°+30°=60°$

円周角の定理の問題
円周角の定理の問題

※参考記事
[数A]円周角の定理の逆とその証明をわかりやすく解説

円周角の定理の逆

2点$P,Q$が直線$AB$について同じ側にあるとき、$\angle APB=\angle AQB$ならば4点$A,B,P,Q$は1つの円周上にあります。

円周角の定理の逆
円周角の定理の逆

円に内接する四角形

円に内接する四角形の性質

円に内接する四角形は次の2点が成りたちます。 ① 対角の和が180°である。 ② 内角はその対角の外角に等しい。

例)$x=180°-80°=100°$,$y=60°$

円に内接する四角形の性質
円に内接する四角形の性質

四角形が円に内接する条件

次の①または②が成り立つとき四角形は円に内接します。

① 1組の対角の和が180°である。
② 1つの内角がその対角の外角に等しい。

※参考記事
[数A]円に内接する四角形とトレミーの定理、ブラーマグプタの公式

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円と直線

円の接線

円$O$の円周上の点$A$を通る直線ℓについて、以下のことが成り立ちます。 直線ℓが点$A$で円$O$に接する $\Leftrightarrow$ $OA\perp\ell$

円の接線
円の接線

この直線ℓが円$O$の点$A$における接線です。

円の外部の点から円に引ける接線は2本あります。 外部の点と接点の間の距離を「接線の長さ」といいます。 円の外部の1点から引いた2つの接線の長さは等しいです。

円の接線
円の接線

例)


$DC=CE=6$
$AE=10-6=4$
$AF=AE=4$
$FB=14-4=10$
$FB=x=10$

円の接線と弦の作る角

円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しいです。

円の接線と弦の作る角

※参考記事
[数A]接弦定理|公式と証明と使い方をわかりやすく解説【簡単】

方べきの定理

円の2つの弦$AB$,$CD$の交点、またはそれらの直線の延長の交点を$P$とすると、$PA\cdot PB=PC\cdot PD$が成り立ちます。

方べきの定理
方べきの定理
方べきの定理
方べきの定理

また、2直線のうち1本が円と点$A$,$B$で交わり、もう一本が円と$T$で接するとき$PA\cdot PB=PT^2$が成り立ちます。

方べきの定理
方べきの定理

例)

方べきの定理
方べきの定理


$x(x+12)=8^2$
$x^2+12x-64=0$
$(x+16)(x-4)=0$
$x>0$より$x=4$

※参考記事

2つの円

2つの円の位置関係

円Oの半径を$r$、円O’の半径を$r’$、$OO’ = d$とします。$r>r’$のとき、2つの円の位置関係は以下の5通りがあります。

  1. 互いに外部にある。
  2. 1点を共有する(外接する)。
  3. 2点で交わる。
  4. 1点を共有する(内接する)。
  5. 一方が他方の内部にある。
2つの円の位置関係
2つの円の位置関係
2つの円の位置関係
2つの円の位置関係
2つの円の位置関係
2つの円の位置関係

例)

2つの円の位置関係

図より、 $x^2 = {12}^2 – 6^2$
$x^2 = 144 – 36 = 108$ $x > 0$なので、
$x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

直線と平面

2直線の位置関係

異なる2直線 $l, m$ の位置関係には下記の3つのパターンがあります。

① 1点で交わる

2直線の位置関係


② 平行である。(直線 $l$ と $m$ は同じ平面上にあります。)

2直線の位置関係

③ ねじれの位置にある。(交わらず、平行でもありません。)

2直線の位置関係

2直線 $l,m$ が平行ではないとき、任意の点 $O$ 通り $l,m$ に平行な直線を $l’,m’$ とすると、$l’,m’$ は一つの平面上にあります。$l’,m’$ の2つのなす角を、2直線 $l,m$ のなす角といます。

2直線 $l,m$ のなす角が直角のとき、$l,m$ は垂直であるといい、$l\perp m$ と書きます。垂直な2直線が交わるとき、直交するといいます。

また、平行な2直線の一方に垂直な直線はもう一方にも垂直です。

直線と平面の位置関係

直線 $l$ と平面 $\alpha$ の位置関係には以下の3パターンがあります。

① $l$ は $\alpha$ 上にある。

直線と平面の位置関係

② 1点で交わる。

直線と平面の位置関係

③ 平行である。

直線 $l$ が平面 $\alpha$ 上のすべての直線に垂直であるとき、直線 $l$ は平面 $\alpha$ に垂直(直交する)といい $l\perp\alpha$ と書きます。$l$ は $\alpha$ の垂線です。

直線と平面の位置関係

2平面の位置関係

異なる2つの平面 $\alpha,\beta$ の位置関係には以下の2つのパターンがあります。

① 交わる。交わっている直線部分を交線といいます。

2平面の位置関係

② 平行である($\alpha\parallel\beta$)。

2平面の位置関係

2平面のなす角と垂直

交わる2つの平面$\alpha$, $\beta$の公線上の1点から2平面上に引いた垂線のなす角を2平面のなす角といいます。 とくに、2平面のなす角が直角のときは、$\alpha$と$\beta$は垂直(直交する)といい、$\alpha \perp \beta$で表します。

2平面の位置関係

例)

辺BFと平行な面は・・・面AEHD
面CGHD 面ABFEと垂直な辺は・・・直線AD, 直線BC, 直線EH, 直線FG
2直線AB,EGのなす角$\theta$は($0°<\theta<90°$)・・・$\theta = 45°$

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多面体

いくつかの平面で囲まれた立体を多面体といいます。

正多面体

正多面体は、各面がすべて合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数がすべて等しい、へこみのない多面体です。 正多面体は以下の5種類だけです。

  • 正四面体
  • 正六面体(立方体)
  • 正八面体
  • 正十二面体
  • 正二十面体

オイラーの多面体定理

へこみのない多面体(凸多面体)の頂点の数を$v$, 辺の数を$e$, 面の数を$f$とすると、$v-e+f=2$が成り立ちます。

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