[数A]円に内接する四角形とトレミーの定理、ブラーマグプタの公式

今回は円に内接する四角形について詳しく解説します。

三角形は必ず円に内接する性質がありますが、四角形はすべてのものが円に内接するわけではありません。

これから四角形が円に内接する条件や、円に内接する四角形だからこそ成り立つ定理を紹介します。

最後まで読んで、円に内接する四角形をマスターしてくださいね。

円に内接する四角形とは

円に内接する四角形について、いくつか重要な性質があります。（参考図1）

これらの性質がなぜ成り立つのか、一つずつ見ていきましょう。

まず、「対角の和は180°である」について説明します。これは円周角の定理を使うと、簡単に証明することが可能です。

円に内接する四角形をABCDとし、角A=α、角C=βとします。円周角の定理より、弧BCDに対する中心角は2α、弧BADに対する中心角は2βとなります。

したがって、以下の数式が成り立ちます:

$2\alpha + 2\beta = 360°$

これを簡約すると：

$\dfrac{2\alpha + 2\beta}{2} = \dfrac{360°}{2}$

$\alpha + \beta = 180°$

したがって、内接する四角形の対角の和は180°であることがわかります。（参考図2）

次に、「外角は、それと隣り合う内角の対角に等しい」について考えてみましょう。

先の証明から、$\alpha + \beta = 180°$ であることがわかっているので、以下の式が成り立ちます：

$\alpha = 180° – \beta$

したがって、角Cの外角は角Aに等しいことが証明できます。

以上から、円に内接する四角形では「対角の和は180°である」ことと「外角は、それと隣り合う内角の対角に等しい」ことが確認できます。

トレミーの定理とは、四角形ABCDが円に内接するとき、以下の等式が成り立つことを示しています。

$$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$$

つまり、トレミーの定理は、円に内接する四角形の対辺の積の和が、対角線の積に等しいことを表しています。（参考図3）

では、なぜトレミーの定理が成り立つのか考えてみましょう。

続いて、△ABCと△AEDについて考えていきます。

円周角の定理より、角ACB=角ADBです。
また、角BAC=角BAE+角EAC=角CAD+角EAC=角EADです。
以上より、2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△AEDが確認できました。（参考図5）
△ABE∽△ACDより、 $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{CD}$$ よって、AB・CD=AC・BE…①
△ABC∽△AEDより、 $$\dfrac{BC}{ED}=\dfrac{CA}{DA}$$ よって、BC・DA=ED・CA…②
①+②より、 $$AB \cdot CD+ BC \cdot DA= AC \cdot BE+ ED \cdot CA=AC(BE+ED)=AC \cdot BD$$