[数A]余事象｜余事象の確率と見分け方は【少なくとも】がポイント

今回は余事象と余事象の確率について解説していきます。

余事象とは何か、余事象で確率を求める方法を解説して、最後に余事象を使う問題の見分け方も紹介しています。
最後まで読めば、余事象は絶対に解けるようになりますから、得点源にするためにもぜひ読んでみてください。

余事象とは｜簡単に解説

余事象とは、「ある事象が起こらない事象」のことです。

例えば、「サイコロで1の目が出る事象」の余事象は「サイコロで1の目が出ない事象」になります。

また、「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る事象」の余事象は「3つのサイコロで、全て奇数の目が出る事象」になります。

余事象の記号

事象$A$の確率を$P(A)$とした場合、余事象、つまり事象$A$が起こらない事象の確率は、集合の補集合と同様の意味であるため、$P(\overline{A})$と表します。

例えば、事象Aが「サイコロで1の目が出る事象」の場合を考えます。

この場合、「サイコロで1の目が出る事象」が$P(A)$、「サイコロで1の目が出ない事象」が$P(\overline{A})$となります。

また、事象$A$が「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る事象」の場合を考えます。

この場合、「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る事象」が$P(A)$、「3つのサイコロで、全て奇数の目が出る事象」が$P(\overline{A})$となります。

余事象の確率の求め方

余事象の公式｜1から引く    

Aという事象が起こる確率をP(A)、Aの余事象が起こる確率をP($\overline{A}$)とします。

余事象の確率を求める公式は、

$P(\overline{A})=1- P(A)$

となります。

つまり、式を変形して、Aという事象が起こる確率を求める場合は、

$P(A)=1- P(\overline{A})$

とも言えます。

この時、なぜ1から引くのか疑問に思うかもしれません。

具体的にサイコロ1個を投げる場合を考えてみましょう。

サイコロの目の出方は全部で、$\{1,2,3,4,5,6\}$の6通りです。

事象Aを「1個のサイコロを投げたとき、1の目が出る」とします。

つまり、確率は「求める事象の場合の数/全ての場合の数」で求めることができるため、P(A)=1/6となります。

また、事象Aの余事象は「1個のサイコロを投げたとき、1の目が出ない」となります。

つまり、$2,3,4,5,6$の目が出ればよいので、$P(\overline{A})=\displaystyle \frac{5}{6}$となります。

これを考えればわかるように、事象Aとその余事象の和は必ず$P(A)+P(\overline{A})=1$になることがわかります。

余事象の公式は$P(A)+P(\overline{A})=1$を変形した形であるため、1から引く形になっています。

余事象の問題｜サイコロ

最初に例で示した「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る確率」を求めてみましょう。

この問題を解くときに、余事象を利用せずに求めようとすると、サイコロの目の出方が以下の7通りを考えなければなりません。

1. 「偶数・偶数・偶数」の場合
2. 「偶数・偶数・奇数」の場合
3. 「偶数・奇数・偶数」の場合
4. 「奇数・偶数・偶数」の場合
5. 「偶数・奇数・奇数」の場合
6. 「奇数・偶数・奇数」の場合
7. 「奇数・奇数・偶数」の場合

これに対して、余事象を考えてみます。

サイコロの目の出方は、上記に書いた7通り以外だと以下に示す1通りのみしか存在しません。

1. 「奇数・奇数・奇数」の場合

つまり、「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る」の余事象は「3つとも奇数の目が出る」ということになります。

余事象である「3つとも奇数の目が出る」の確率を求めます。

全て奇数の目が出るので、$\displaystyle \frac{1}{2}\times\displaystyle \frac{1}{2}\times\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{8}$

したがって、余事象の公式を用いると3つのサイコロで少なくとも1つは偶数の目が出る確率は、$1-\displaystyle \frac{1}{8}=\displaystyle \frac{7}{8}$となります。

余事象の見分け方     

先ほどのサイコロの問題「3つのサイコロで、少なくとも1つは偶数の目が出る確率」を見てください。

このように、「少なくとも」という言葉がある場合は、余事象を利用する方が簡単に解けることが多くなっています。

他にも、「少なくとも」という言葉がない場合でも、求めたい事象の余事象を考えたとき、求めたい事象より余事象の方が少ないと判断できる場合は、余事象を利用する方が簡単に解くことができます。

余事象のまとめ       

今回は、余事象について説明しました。

余事象は、最初は使いどころが難しいかもしれません。

しかし、必要に応じて使えるようになると、問題を簡単に解くことができるので、ぜひ使えるようにしておくといいですよ。