数Bで習う平面ベクトルの公式と用語についてまとめました。要点の予習やテスト前の復習にお使いください！
平面上のベクトルの公式
ベクトルの加法の性質
2つのベクトル$\vec{AB}$, $\vec{BC}$の和を$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$と定めます。
一般に$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{BC}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$と表します。
また、ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$に対して差$\vec{a}-\vec{b}$を$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$と定めます。
加法について次の性質が成り立ちます。
① $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ ・・・交換法則
② $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$ ・・・結合法則
※参考記事
[数B]ベクトルの足し算、成分、絶対値、交換法則、結合法則を解説
[数B]ベクトルの引き算、成分、絶対値、交換法則、結合法則を解説
ベクトルの実数倍
ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$と、実数$k$, $l$に対して、次の性質が成り立ちます。
① $k\left(l\vec{a}\right)=\left(kl\right)\vec{a}$
② $\left(k+l\right)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
③ $k\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=k\vec{a}+k\vec{b}$
例）
① $2\left(3\vec{a}\right)=6\vec{a}$
② $\vec{a}+3\vec{a}=4\vec{a}$
③ $2\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=2\vec{a}+2\vec{b}$
ベクトルの成分
座標平面上の原点をOとします。$\vec{a}=\vec{OA}$ となる点$A\left(a_1,a_2\right)$をとったとき、$\vec{a}$を次の2通りの方法で表します。
① 基本ベクトル表示・・・$\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}$（$\vec{e_1}=\left(1,0\right)$, $\vec{e_2}=\left(0,1\right)$を基本ベクトルといいます。）
② 成分表示・・・$\vec{a}=\left(a_1,a_2\right)$（$a_1$をx成分, $a_2$をy成分といいます。）
※参考記事
[数B]ベクトルの成分表示とは？大きさと計算、書き方、内積を解説
ベクトルの大きさ
$\vec{a}=\left(a_1,a_2\right)$のとき$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$
例）$\vec{a}=\left(2,3\right)$のとき、$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
※参考記事
[数B]ベクトルの大きさと求め方、空間ベクトル、2乗、成分なしを解説
ベクトルの相等
$\vec{a}=\left(a_1,a_2\right),\ \vec{b}=\left(b_1,b_2\right)$のとき、$\vec{a}=\vec{b}\ \Leftrightarrow\ a_1=b_1,\ a_2=b_2$
成分による和・差・実数倍
① $\left(a_1,a_2\right)+\left(b_1,b_2\right)=\left(a_1+b_1,a_2+b_2\right)$ ② $\left(a_1,a_2\right)-\left(b_1,b_2\right)=\left(a_1-b_1,a_2-b_2\right)$ ③ $k\left(a_1,a_2\right)=\left(ka_1,ka_2\right)$
例）$\vec{a}=\left(-3,2\right),\ \vec{b}=\left(4,-5\right)$のとき $2\vec{a}-3\vec{b}=2\left(-3,2\right)-3\left(4,-5\right)=\left(-6,4\right)-\left(12,-15\right)=\left(-6-12,4-\left(-15\right)\right)=\left(-18,19\right)$
2点A,Bとベクトル$\vec{AB}$
2点 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2)$ について、
$\vec{AB} = (b_1 – a_1, b_2 – a_2)$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2}$
例）$A(-3, 4), B(2, 0)$のとき
$\vec{AB} = (2 – (-3), 0 – 4) = (5, -4)$
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$
ベクトルの内積
① 0でない2つのベクトル$\vec{a}, \vec{b}$のなす角をθとすると
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}$
② $\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ について、
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$
③ 0でない2つのベクトル$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$のなす角をθとすると
$\cos{\theta} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2} \cdot \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2}}$
※参考記事
[数B]ベクトルの内積、公式と求め方、3次元、角度がわからないときも解説
[数B]ベクトルなす角の求め方と、どっちがなす角かを紹介
例）
① $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, \vec{a}, \vec{b}$のなす角θ = 60°のとき
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos60° = 6 \times 12 = 3$
② $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (-3, 4)$のとき
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 4 = 5$
③ $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, 1)$のとき
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 2 = 5$
$|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$\cos{\theta} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $0 \leq \theta \leq 180°$であるから、$\theta = 45°$
内積の性質
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ ($k$は実数)
- $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
- $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
例）
$|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$のとき、$|\vec{a} – 2\vec{b}|$の値は
$|\vec{a} – 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} – 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} – 2\vec{b})$
$= |\vec{a}|^2 – 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$
$= 3^2 – 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1^2 = 5$
$|\vec{a} – 2\vec{b}| \geq 0$であるから、$|\vec{a} – 2\vec{b}| = \sqrt{5}$
ベクトルの平面図形の公式
位置ベクトル
平面上において1点Oを定めると、平面上の点$P$の位置は、ベクトル$\vec{OP}=\vec{p}$によって定まります。 このとき$\vec{p}$を点$O$に関する位置ベクトルといいます。
$\vec{AB}$と位置ベクトル
平面上の2点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$について$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
内分点・外分点の位置ベクトル
2点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$を結ぶ線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$と外分する点$Q$の位置ベクトルは
内分・・・$\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
外分・・・$\vec{q}=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ 特に、線分$AB$の中点$M$の位置ベクトルは$\vec{m}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
例）2点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$を結ぶ線分$AB$を$2:3$に内分する点$P$の位置ベクトル$\vec{p}$と$2:3$に内分する点$Q$の位置ベクトル$\vec{q}$を求めよ。 $\vec{p}=\dfrac{3\vec{a}+2\vec{b}}{2+3}=\dfrac{3}{5}\vec{a}+\dfrac{2}{5}\vec{b}$, $\vec{q}=\dfrac{-3\vec{a}+2\vec{b}}{2-3}=3\vec{a}-2\vec{b}$
※参考記事
[数B]単位ベクトルとは？求め方、内積、垂直をわかりやすく解説
[数B]位置ベクトルとは？重心、内分、公式を解説｜練習問題あり！
三角形の重心の位置ベクトル
3点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$、$C(\vec{c})$を頂点とする△$ABC$の重心$G$の位置ベクトル$\vec{g}$は$\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
ベクトル$\vec{d}$に平行な直線
点$A(\vec{a})$を通り、$\vec{0}$ではないベクトル$\vec{d}$に平行な直線のベクトル方程式は$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$（$t$：媒介変数、$\vec{d}$: 方向ベクトル）
さらに点$A$の座標を$(x_1,y_1)$、$\vec{d}=(l,m)$、点$P$の座標を$(x,y)$とすると、 $(x,y)=(x_1+tl,y_1+tm)$と表されます。この式を直線の媒介変数表示といいます。
※参考記事
[数B]ベクトルの平行と平行条件、内積との関係、証明を解説
2点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$を通る直線
2点$A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$を通る直線のベクトル方程式は$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$
例）2点$A(2,-1)$、$B(5,1)$について、直線$AB$を$t$を媒介変数とする媒介変数表示で表せ。 $(x,y)=(1-t)\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2t\-1+t\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5t\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+3t\-1+2t\end{pmatrix}$ $x=2+3t, y=-1+2t$
ベクトル$\vec{n}$に垂直な直線
点$A(\vec{a})$を通り、$\vec{0}$ではないベクトル$\vec{n}$に垂直な直線$l$のベクトル方程式は$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$（$\vec{n}$: $l$の法線ベクトル）
さらに点$A$の座標を$(x_1,y_1)$、$\vec{n}=(a,b)$、点$P$の座標を$(x,y)$とすると、 $\vec{p}-\vec{a}=(x-x_1,y-y_1)$であるから、$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$は $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$と表せます。
例）点$A(-2,2)$を通り、$\vec{n}=(2,-3)$に垂直な直線の方程式は$2(x-(-2))-3(y-2)=0$よって$2x-3y+10=0$
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