[数B]数列の公式一覧、等比数列、等差数列、和、シグマ、階差数列

数列の公式一覧の紹介です。

数列とその和の公式

数列とは

数を1列に並べたものを数列といいます。一般的に下のように表します。

$$a_1\ ,\ a_2\ ,\ a_3\ ,・・・・,an ,・・・$$

• 項・・・数列の各数
• 初項・・・最初の項（第１項）
• 一般項（第n項）・・・最初の数からn番目の項　a_n で、nの式で表されます。nに1,2,3,・・・と代入することで、数列の各項の値を求めることができます。
• 有限数列・・・項の個数が有限である数列。項の個数を項数、最後の項を末項といいます。
• 無限数列・・・項の個数が無限である数列。項がどこまでも続きます。

等差数列

初項に一定の数$d$を次々加えて得られる数列を等差数列といい、一定の数$d$を公差といいます。
初項$a$公差$d$の等差数列$\left(a_n\right)$の一般項は、下記になります。

$$a_n=a+\left(n-1\right)d$$

※参考記事
[数B]等差数列とは、等差数列の一般項と和

使用例

初項 4 ,公差 6 の等差数列$\left(a_n\right)$の一般項は$a_n=4+\left(n-1\right)\cdot 6$すなわち$a_n=6n-2$
第5項は$a_5=6\cdot5-2=28$

等差数列の和

初項$a$, 公差$d$, 末項$l$, 項数$n$の等差数列の和を$S_n$とすると、

$$S_n=\frac{1}{2}n\left(a+l\right)=\frac{1}{2}n\left\{2a+\left(n-1\right)d\right\}$$

※参考記事
[数B]等差数列の和の公式｜証明と練習問題

使用例

初項 3 ,末項 19 ,項数 9 の等差数列の和\ S_n は
$S_9=\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot\left(3+19\right)=99$

等比数列

初項に一定の数$r$を次々と掛けて得られる数列を等比数列といい、一定の数$r$を公比といいます。
初項$a$公比$r$の等差数列$\left(a_n\right)$の一般項は

$$a_n=ar^{n-1}$$

※参考記事
[数B]等比数列｜一般項と和の公式の証明をわかりやすく解説

使用例

初項-1 , 公比4の等比数列$\left(a_n\right)$の一般項は$a_n=-1\cdot4^{n-1}=-4^{n-1}$
第4項は$a_4=-4^{4-1}=-64$

等比数列の和

初項$a$, 公比$r$の等比数列の初項から第n項までの和を$ S_n $とすると、

• $r\neq1$のとき、
  $S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
• $r=1$のとき$S_n=na$

※参考記事
[数B]等比数列の和｜公式と覚え方、証明など一挙に解説

使用例

初項$10$, 公比$2$, 項数$6$の等比数列の和$S$は
$S=\dfrac{10\left(2^6-1\right)}{2-1}=630$

シグマの公式

和の記号Σ(シグマ)と自然数の和

数列の和をΣを使って下のように表します。
　
$k=\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+・・・+a_n$

自然数に関する和はΣを使って次のように表せます。

• $\sum_{k=1}^{n}1=n
  （\sum_{k=1}^{n}1=1+1+1+・・・+1$ 1をn個足す）
• $\sum_{k=1}^{n}c=nc\ c$は定数
  （$\sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+・・・+c$ 定数の和）
• $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)$
  ($\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+・・・+n$ 自然数の和)
• $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$
  ($\sum{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+・・・+n^2$平方数の和)

※参考記事
[数2]シグマの公式とその証明

Σの性質

Σについて下の2つの式が成り立ちます。

• $\sum_{k=1}^{n}{ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k}$(cは定数)
• $\sum_{k=1}^{n}{\left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^{n}{a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k}}$

使用例

\begin{eqnarray}
&&\sum_{k=1}^{n}\left(k-1\right)\left(k+2\right)\\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left(k^2+k-2\right)\\
&=&\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}2\\
&=&\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+\frac{1}{2}n\left(n+1\right)-2n\\
&=&\frac{1}{6}n\left\{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+3\left(n+1\right)-12\right\} ←\frac{1}{6}nでくくる\\
&=&\frac{1}{6}n\left(2n^2+6n-8\right)\\
&=&\frac{1}{3}n\left(n-1\right)\left(n+4\right)
\end{eqnarray}

階差数列の公式

$y=2^x$一般に、数列$\left(a_n\right)$に対して、隣り合う項の差$b_n=a_{n+1}-a_n$を項とする数列$\left(b_n\right)$ を数列$\left(a_n\right)$の階差数列といいます。

数列$\left(a_n\right)$の階差数列を$\left(b_n\right)$とすると、

$n\geqq2$のとき$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$

※参考記事
[数B]階差数列｜階差数列の一般項と和を解説

使用例

次の数列$\left(a_n\right)$の一般項を求めよ。
$1,5,13,25,41,61,・・・$

階差数列$\left(b_n\right)$は$4,8,12,16,20・・・$一般項は$b_n=4n$
$n\geqq2$のとき$a_n=4+\sum_{k=1}^{n-1}4k=4+4\sum_{k=1}^{n-1}k
=4+4\times\frac{1}{2}\left(n-1\right)\left\{\left(n-1\right)+1\right\}$

展開して整理すると、$a_n=2n^2-2n+1$
$a_1=1$であるから、$a_n=2n^2-2n+1$は$n=1$のときも成り立つ。

したがって、一般項は$a_n=2n^2-2n+1$

※参考記事
階差数列の漸化式、n乗、見分け方、解き方をわかりやすく解説