[数B]等差数列とは、等差数列の一般項と和

等差数列について解説する。

等差数列とは

まずは等差数列とは、何かの説明です。等差数列とは、一定の差を保っている数列のことです。
具体例を見てみましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

\(2\)から始まって、１つ右に行くと\(4\)ずつ増えていることが分かりますね。

この様に同じ差だけ積み重なって行く数列を等差数列と呼びます。

逆に減っていく数列も等差数列と言います。

$$15,\ 12,\ 9,\ 6,\ 3\cdots$$

上記は3ずつ減っていますね。

等差数列の初項と公差

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

の場合、最初の\(2\)を初項と呼びます。
1つ隣に行くと\(4\)増えていますね。この\(4\)を公差と呼びます。

初項を\(a\)、公差を\(d\)で表すことが多いです。
ちなみに上の数列を文章で書くと、

【初項\(2\)、公差\(4\)の等差数列】

と書くことができます。

$$2,\ 2+4,\ 6+4,\ 10+4\cdots$$

ってことですね。
これを文字で書くと下記のように書けます。

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ a+4d\cdots$$

等差数列の一般項

では、等差数列の一般項を考えてみましょう。

一般項とは、ｎ番目の項（第ｎ項）をｎを使った式で表したものです。これだけでは分かりにくいと思うのでさっきの数列を使って具体例を見ていきましょう。

$$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18\cdots$$

この時の第3項は\(10\)ですね。つまり\(n=3\)のときは\(10\)となります。
同様に\(n=4\)のときは\(14\)、\(n=5\)のときは\(18\)です。

一般項はこの様に、\(n\)に数字を代入するだけで、第n項の数字を求めることができる公式と言うイメージです。

初項ａ、公差ｄの等差数列の一般項
$$a_n=a+(n-1)d$$

さっきの例で見てみると、初項\(a=2\)、公差\(d=4\)だから一般項は
$$a_n=2+4(n-1)$$
となります。\(n=4\)で実際に計算してみましょう。

$$a_4=2+4(4-1)=2+12=14$$

となり、先ほど示した答えと一致しますね。

等差数列の一般項の証明

初項\(a\)に\(d\)がどんどん足されていく式になっていますね。

ここで良くある質問を一つ紹介したいと思います。

Q: 第ｎ項なら\(a+nd\)になりそうな気がするけど・・・\(n-1\)になってるのはなぜですか？？
A: 初項の分を引いているから\(n-1\)となります。初項で\(d\)は足されませんよね。

さて、一般項が分かったところで等差数列の和について考えてみましょう。

等差数列の和

等差数列の和とは、ある等差数列の初項から第\(n\)項までの合計のことであり、\(S_n\)で表すことが多いです。

例えば、初項2、公差4の等差数列の初項から第5項までの和を考えてみましょう。

$$2+6+10+14+18=50$$

等差数列の和の公式を見てみましょう。

この式があれば、どんな等差数列でも和を求めることができますよ！

等差数列の和の公式は下記の記事が参考になります。

算数と数学のトムラボ

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今回は以上です。

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