[数B]ベクトルの成分表示とは？大きさと計算、書き方、内積を解説

ベクトルは物理学や工学などの様々な分野で使用されています。

ベクトルは大きさや方向を持っている量で、それらを表すために「成分表示」と呼ばれる方法があります。

この記事では、ベクトルの成分表示について初心者にもわかりやすく解説します。

※参考記事
[数B]ベクトルとは｜ベクトルの意味とスカラーとの違いを解説

ベクトルの成分表示とは？

ベクトルの成分表示とは、あるベクトルがどのような方向を持っているかを表すために使用される方法です。

例えば、2次元空間上（平面上）のベクトル$\vec{v}$は、x軸とy軸上の成分$v_x$、$v_y$を用いて表すことができます。

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x ,\ v_y \end{pmatrix}$$

これはベクトル$\vec{v}$の始点を原点に置いたときに、ベクトルの終点が、座標\(( v_x ,\ v_y)\)あることを意味します。

同様に3次元空間上のベクトル$\vec{v}$は、x軸、y軸、z軸上の成分$v_x$、$v_y$、$v_z$を用いて表すことができます。

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x ,\ v_y ,\ v_z \end{pmatrix}$$

3次元空間上の原点に$\vec{v}$の始点をおくと、終点が座標$(v_x ,\ v_y ,\ v_z)$にあることを意味します。

ベクトルの成分表示の大きさ

ベクトルの大きさは、そのベクトルの成分を用いて求めることができます。

2次元空間上のベクトル$\vec{v}$を例にして大きさを求めてみましょう。

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x ,\ v_y \end{pmatrix}$$

上記のベクトル$\vec{v}$の大きさは以下のように計算できます。

$$\left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

3次元空間上のベクトル$\vec{v}$の大きさは、二次元と同様に以下のように計算できます。

$$\left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

ベクトルの成分表示の計算

ベクトルの成分表示を用いた計算は、ベクトルの加算やスカラー倍などが可能です。

例えば、2次元空間上のベクトル$\vec{u}$と$\vec{v}$の和は以下のように計算できます。

$$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \end{pmatrix}$$

また、スカラー倍は以下のように計算できます。

$$c\vec{v} = \begin{pmatrix} cv_x \ cv_y \end{pmatrix}$$

さらに、2つのベクトル$\vec{u}$、$\vec{v}$の内積は以下のように計算できます。

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_xv_x + u_yv_y$$

これらの計算を行うことで、ベクトルの成分表示を用いた計算が可能です。

※参考記事
[数B]ベクトルの足し算、成分、絶対値、交換法則、結合法則を解説

[数B]ベクトルの内積、公式と求め方、意味を解説｜角度がわからないときも

ベクトルの成分表示｜まとめ

本記事では、ベクトルの成分表示について解説しました。

ベクトルは、大きさや方向を持つ量であり、それらを表すために成分表示を使用することができます。
また、ベクトルの成分表示を用いた計算も可能であることがわかりました。

これらの知識をもとに、ベクトルを使用する様々な分野での活用を深めることができるでしょう。