今回は指数関数を噛み砕いて解説したいと思います。
指数関数は理解すると難しくないのですが、とっても重要な単元です。
もし理解できていないと数学はもちろん、他の理系科目でもつまづいてしまう要因になります。
指数関数は\(x\)のある位置が今までの関数と全然違うからわからなくなったよ・・・
という声をよく聞きます。
なので、まずは定義を解説して指数関数とは何なのかをわかりやすく解説していきます。
そして、指数関数はどんなグラフになるのか、公式はどんなものがあるのか。
この辺りをしっかりと解説していきますね！
この記事でわかること
- 指数関数とは何か｜定義の解説
- 指数関数のグラフ｜２パターンで解説
- 指数関数の性質と法則｜公式紹介
この記事を読めば指数関数の全体像がわかるようになります。全体像がわかってから勉強すると、とても効率が良くなるので、ぜひ最後まで読んでみてください！
指数関数とは
まずは指数関数の定義を確認しましょう！
指数関数の定義
\(y=a^x\) ただし、\(a>0,\ a≠1\)
これが定義です。
とは言っても、正直この式をみただけで理解できる人はかなり少ないと思います。
そこで、数学全体に言えることですが、定義が出てきたら、ひとまず「こういうもの！」と、無理矢理でも自分を納得させましょう。
それが数学が分かるコツだったりします。
では定義をわかりやすく、詳しく解説していきます。
\(a^{x}\)の具体例
ここで理解を深めるために具体例を出しますね。
ここで\(a\)に２つの数字を当てはめます。
\(a=2\)と\(a=\displaystyle \frac{1}{2}\)を当てはめて考えます。
上の図の左上が\(a=2\)のときの表、右側が\(a=2\)と\(a=\displaystyle \frac{1}{2}\)グラフとなります。
ここで注目して欲しいのが、単調増加と単調減少という言葉です。
\(a\)が\(1\)より大きいとグラフは単調増加していきます。
\(x\)が大きくなるほど、\(y\)も大きくなるという意味です。
一方で、\(a\)が\(1\)より小さいと、単調減少していきます。
\(x\)が大きくなるほど、\(y\)は小さくなるという意味です。
- \(a\geq1\)ならば単調増加
- \(a\leq1\)ならば単調減少
もう一度グラフを見てみましょう。
\(a=2\)のとき、\(a=2>1\)と\(a\)は\(1\)より大きいので、単調増加していくグラフになっています。
次に\(a=\frac{1}{2}\)を代入して見ましょう。
グラフをもう一度確認すると、\(x\)が増加すると\(y\)が減少していることがわかりますね。
このように、\(a=\frac{1}{2}<1\)と1より小さい場合は単調減少するグラフとなります。
a>0とa≠1の理由｜定義の説明
定義についてもう少し解説します。
指数関数の定義には『ただし、\(a>0,\ a≠1\)』と記載があります。
これが書いてある理由を考えていきましょう！
\(a>0\)の理由
もし、\(a>0\)だった場合どうなるでしょうか。
\(a\)はマイナス（負の数）になりますよね。
例えばa=(-1)、xが0.5の場合、
$$a=\sqrt{-1}$$
となってしまいまい、ルートの中がマイナスなので成り立ちませんね。
\(a≠1\)の理由
では\(a≠1\)について考えましょう。
この理由は\(a=1\)の場合を考えると見えてきます。
\(a=1\)だった場合、
$$y=1^{x}$$
となります。
これでは\(x\)が何であっても\(y=1\)になります。
これでは意味がないので、指数関数の定義では\(a≠1\)って条件が付いています！
指数関数の性質
それでは、ここから指数関数の性質を確認していきましょう！
まあ正直ここはそんなに重要じゃないかなあ、でも知っておいた方がいいよなあって位の重要度です。
大きく分けて2つありますのでまとめましょう！
1つ目の性質
a≠0で、nが正の整数のとき
$$a^{0}=1,\ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$
これは最初は感覚的に違和感があると思いますが、慣れるので大丈夫です！
どんな数でも0乗すると答えは1になります。式にするとこうです。
$$a^0=1$$
また、\(-n\)乗すると\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)のように、分数で表す事も可能です。
例えば、\(a=5,\ n=-2\)だとしたら、
$$5^{-2}=\displaystyle \frac{1}{5^2}=\displaystyle \frac{1}{25}$$
となります！
2つ目の性質
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\ \ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^{m}$$
これも最初は難しくても、慣れで理解できていくので大丈夫です！
性質は定理などとは違って、『こう書くこともできるよー』ってものなので、理解するより慣れる方がおすすめです。
指数法則（指数関数で使える法則）
最後に指数法則を紹介しましょう。
指数法則はざっくり４つあります。
- \(a^{p}a^{q}=a^{p+q}\)
- \((a^{p})^{q}=a^{pq}\)
- \((ab)^{p}=a^{p}b^{p}\)
- \(\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}=\frac{1}{a^{q-p}}\)
この指数法則、結構大事です。と言うのも今後、こういった計算が数学でガンガン登場します。
「え？これ法則？常識だよね？」
くらい使いこなせるようになっておいてくださいね！
指数関数まとめ
指数関数をまとめます！
- \(y=a^{x}\ (\text{ただし、}a>0,\ a\neq1)\)が定義
- \(a\geq1\)ならば単調増加\(a\leq1\)ならば単調減少
- 指数法則は今後ガンガン登場するよ！
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