三角関数の定義:鈍角の三角比

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今回は三角関数の定義についてです。

これまでは三角関数を「なんとなく」扱ってきました。

前回は上の2つの三角形を覚えよう!であったり、よく使う公式なんかも紹介しましたね。少し確認してみましょう。

例えば、\(\cos 30°\)は何か分かりますか?

$$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

となります。あれ???って方は以下の記事を読んでみてくださいね!

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さて、本題に移ります。これまで扱ってきた角度は全て90°未満です。これ、もし角度が90°以上になるとどうなるんだろう?って考えた方はいませんか?

もちろん90°以上の鈍角の三角関数も存在しています。この計算を簡単にするために、今後でてくる公式をなるべく覚えなくて済むように、ここでしっかりと【三角関数の定義】を確認しておきましょう!

トムくん
トムくん

出た!定義!堅苦しくて苦手なんだよね。

くりまろ
くりまろ

定義って言うと難しく感じるけど、なるべく分かりやすく説明するよ〜!それに今理解しておくと今後がかなり楽になるからね!

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三角関数の考え方

これまでは三角形を基に三角関数を考えてきました。ですが、実は円で考えることで理解が深まります。下の図をみてみましょう!

原点を中心とした、半径rの半円を考えます。この円の上に点P(X, Y)を適当に置きます。原点Oと点Pを結ぶ線を引くと、それによってできた角度がαだった。とします。

この時の三角関数は前回までやった通り、

\(\sin α=\frac{Y}{r}\)、\(\cos α=\frac{X}{r}\)、\(\tan α=\frac{Y}{X}\)

となります。

トムくん
トムくん

やばい、円が出てきてから意味不明だ!!

分からない方は難しく考えないで、「まあそうだとしよう!」みたいな割り切りを持つといいと思います。理解は後からついてくるので!

 

ただ、第1回、第2回の記事をしっかり読んでいればsin, cos, tanの式はわかると思います。とりあえずそれでOKです!

 

今α<90°ですよね。では鈍角ならどうなるのか・・・

 

鈍角の場合はどうなるの?

結論から言うと同じです!

αが鈍角になろうと、αが鋭角だろうと結局同じなのです。

つまり、これが三角関数の定義なのです。

トムくん
トムくん

あれ?急にわかってきた。

くりまろ
くりまろ

「定義」って名前はイカツイけど、結構シンプルなものが多いよ。角度(α)がどんな大きさになろうと、この式に当てはめるだけでOK!!

三角関数の定義

では、三角関数の定義を確認しておきましょう!

これです!簡単ですね!半径rの円を考えるのが少し厄介ですが、これさえ覚えておけばいいので超余裕です!

ちなみにsin, cos, tanの覚え方は三角関数の基礎の記事に書いてあります!

鈍角の三角関数を計算してみよう

さて、定義が分かればもう最強!実際に計算してみましょう!

例題

135°のsin, cos, tanを求めよ。

さっきまでは半径rの円を考えてましたが、半径を1として計算してみましょう!理由は計算が楽になるので。笑

もちろん半径rでも計算結果は同じになります。

解答

以下解答です。

点Pの座標(X, Y)は$$X=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$Y=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

です。あとは定義に当てはめるだけ!

答え

$$\sin 135°=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\cos 135°=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\tan 135°=-1$$

トムくん
トムくん

すげー、めっちゃ簡単!定義ちょろいね。

まとめ

三角関数講座の第3回として、三角関数の定義を解説しました。

最初は理解が難しい面もあるかと思いますが、今後何か迷ったらこの定義をもとに考えればOKです!それが定義のすごいところで、どんな場面でもこの定義は成り立ちます。

ぜひとも定義だけはしっかり覚えてくださいね。(暗記は必要ありません!)

 

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