円周角の定理と証明、中心角の求め方を詳しく解説!

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くりまろ
円周角の定理は試験でも使うことが多いよ!
トムソン
えー!良く理解できてないよ

今回は数学が嫌いな人でも理解できるように、円周角の定理について工学博士が解説します。まずは定理を解説して、その証明を解説します!

※所要時間はざっと5分~10分。円周角を完全に理解できます!

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円周角の定理

円周角の定理は大きく分けて2つあります。

  1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
  2. ある弧に対する円周角は全て等しい

の2つです。1つずつゆっくり見ていきましょう。

トムソン
そもそも円周角と中心角が分からんっちゃけど

ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である

下の図を見てみましょう。

中心角は「円上のある2点からと、円の中心で出来た角」です。つまり2本とも半径になりますね!

円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。文字だと分かりにくいですが、図を見てもらえれば分かると思います。

定理に出てきた弧って言うのは円の一部のことです。上の図でいくと、2本の線が出ている2点を結んだ場所です。

 

この円周角は中心角の半分となります。ただし同じ2点から出ている場合です。下の図の場合だとこれは成り立ちません。

 

同じ2点(同じ弧)に対する円周角と中心角じゃないので、定理は成り立ちません!

この1つ目の定理を式にすると、こうなります。

円周角中心角÷2

文字でごちゃごちゃ書くと難しく感じますが、式にするとかなりスッキリしますよね。

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くりまろ
トム君は理解できた?
トムソン
式にすると簡単に分かったよ!

ある弧に対する円周角は全て等しい

円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。

同じ2点(同じ弧)に対する円周角は全て等しいです。下の図を見てみましょう。

この2つの円周角は同じ2点(同じ弧)から出てきているので、等しくなります!

ここまで読んだあなたなら、理解は簡単じゃないかと思います!式にするまでもないですかね。

トムソン
円周角が同じになるってだけやね。余裕やん!

円周角の定理を証明は3パターン!

円周角の定理を証明する場合は3パターンに分かれます。

  1. 円周角の中に中心がある場合
  2. 円周角の外に中心がある場合
  3. 1本の線が中心を通る場合

の3パターンです。図にしてみましょう。

ちょっと大変ですが、この3パターンを証明して初めて証明したことになります!

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くりまろ
頑張って証明してみよう!

円周角の中に中心がある場合

証明には下の図を使います。ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。

2つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOC∠DBCの2倍ってことです!

では証明に移りましょう!

まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。点線の部分です。すると△の部分が半径なので、同じ長さとなります。AO=BO=COです。

すると、△BOCと△AOBはどちらも二等辺三角形となります。ここで△BOCを見てみましょう。

二等辺三角形の底角(∠OBCと∠BCO)は等しいのでの角度は等しくなります。三角形の内角の和は180度なので、∠BOCは(180–●-●)度となります。直線も180度ですね。

つまり、∠CODの角度は()度になりますね。同様に∠AODは()度となるのです。

 

ここまで来るとあとは簡単!ACの円周角∠ABCは()度、

中心角∠AOCは()=2()度。円周角の定理を思い出してみましょう。

円周角中心角÷2

成り立っていますね!証明完了です。

円周角の外に中心がある場合

2番目を見てみましょう。

少し複雑なので、しっかり見ていきましょう!とは言ってもとっても簡単ですので心配しないでください!

まずはBからOを通る直線を引いてDを作ります。先ほどの二等辺三角形の方法を思い出してください。△BOCを見てみましょう。

∠OBCを◻︎とすると、∠DOCは(◻︎+◻︎)となります。次に△AOBを考えます。

 

∠OABを●とすると∠AODは(●+●)となりますね!ここまで来たらあとは簡単!

  • 円周角=∠ABC=(●-◻︎)度
  • 中心角=∠AOC=〔(●+●)-(◻︎+◻︎)〕=2(●-◻︎)度

円周角中心角÷2

になりましたね!証明完了!

1本の線が中心を通る場合

さて、最後です。あなたは良く頑張りました!偉い!

あと1個ですが、ここまで来たあなたなら超余裕ですのであと少し頑張りましょう。

もうこれ説明不要ですかね・・・・

トムソン
円周角が●で、中心角が(●+●)だね!
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くりまろ
二等辺三角形を使う方法ですぐ証明できるよ!

円周角は全て等しいの証明

円周角の定理はもう1つありますね。ですがこの照明は超余裕ですので頑張りましょう!!

前提として、円周角と中心角の関係は照明完了しています。つまり

円周角中心角÷2

という式は使用可能です。素晴らしい。

この図の円周角2つはともに同じ中心角をもってます!そしてしつこいようですが、以下の式は成り立ちます。

円周角中心角÷2

つまり、

円周角中心角÷2=円周角

となるので、証明完了です!

円周角の定理|まとめ

円周角と中心角をまとめましょう!

  1. 円周角=中心角÷2
  2. 円周角は全て同じ
  3. 円周角の定理の証明は二等辺三角形を使うと簡単

となります!良くわからないよってところがありましたら、気兼ねなくお問い合わせページから質問してください!

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