【正弦定理】公式と証明|余弦・接弦定理の違いも解説!

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こんにちは、工学博士のKotaです。

 

今回は正弦定理です。余弦定理に比べると使用頻度が低いためか、点数の取りこぼしが多い定理のような気がします。しっかりと理解してしまいましょう。

くりまろ
くりまろ

この記事を読んで正弦定理をしっかりと理解しましょう。

この公式は得意だけど、余弦定理とか接弦定理とか似た名前が多いですよね〜

※約10分で読み終わるので頑張りましょう!

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正弦定理とは

正弦定理とは半径Rに内接する三角形で以下の式が成り立つ定理になります。下の図を見てみましょう。この図に対して、以下の式が成立します。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

これが正弦定理です。

正弦定理の証明1

では、証明に移りましょう。正弦定理の式の

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

(=2R)より前をまずは証明します。

三角関数を復習

ここでの証明には三角関数を使用します。まあ定理にsinが出てきてるので当たり前ですが・・・笑

どこがsinだったかなどを一度しっかりと復習しておきましょう。

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それは分かるよーってあなたはサクサクと次に進んでください!

2R以外を証明

ここで下の図を見てください。

頂点Aから辺aに向けて垂線を下ろします。そして、辺aのと垂線の交点をPと置きます。このAPを2つの視点から求めることで証明します!

 

左の直角三角形に注目しましょう。

$$AP=c\ sinB$$

と、求めることが可能ですよね。次に右の直角三角形で同様のことをすると、

$$AP=b\ sinC$$

になることがわかります。あとは簡単です。いま求めた式を=で結ぶと・・・

$$AP=c\ sinB=b\ sinC$$

$$\text{∴}\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$

同様にBからbに垂線

これまでのやって来たことをもう一回やると=2Rまでの証明が完璧になります。さっきはAからaに垂線を下ろしましたが、今回はBからbに垂線を下ろします。

そして、同様の計算を行うことで、証明完了です。

こちらは省略させていただきますので、あなた自身で解いて見てください!分からなければコメント欄からの質問お待ちしております〜!

$$\text{∴}\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$

正弦定理の証明2

ここまでで、半分証明完了です。ここからは=2Rの証明を行いますよー。

ただし、証明には円周角の定理を必要としますのでしっかりと復習しましょう!

円周角の定理の復習

円周角の定理は中心角は円周角の2倍といった定理です。

「まあ8割がたOK」って方はいいですが、

「ちょっと習ったのが昔すぎて・・・」という方は今のうちです!復習しましょう。

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これで準備完了!証明しましょう。

2Rまでの証明

では下の図を見ましょう。

円の中心Oから辺aに垂線を下ろします。垂線と辺aの交点をQとすると、△OBCは二等辺三角形なので、$$∠OQB=90°$$

三角関数を用いまして、BQを表すと

$$sin∠QOB=\frac{BQ}{OB}=\frac{a}{2R}\tag{1}$$

となりますね。

次に∠BACですが、中心角∠BOCの半分です。また∠BOQも∠BOCの半分です。ということは

$$∠QOB=\frac{∠BOC}{2}=∠BCA=∠A\tag{2}$$

ですよね。(1)と(2)式を使うとーーー

$$sinA=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow\frac{a}{sinA}=2R

となります。

$$\text{∴}\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

くりまろ
くりまろ

証明完了!!!

証明完了!!!

正弦・余弦・接弦定理|違い

正弦定理の証明は終わりましたが、ややこしい(似たような)定理が他に2つありますね。違いを確認しておきましょう!

余弦定理

余弦定理ってのはこんな定理でしたね。

「怪しいぞ・・・」って方はこちらの記事を読んで見てください!

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接弦定理

接弦定理ってのはこんな感じですよー!

印が付いた角度が等しいって定理でしたね。これまた怪しい方はこっちの記事を読んでおきましょう!

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正弦定理まとめ

では、正弦定理についてまとめましょう!

  • 正弦定理は以下の式で表すことができる。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

  • 2Rまでしっかり覚えることが重要
  • 接弦・余弦定理もしっかりと覚え、問題に応じて使用する!

となります。しっかりと3つの定理を覚えて、問題を見た瞬間に「あの式を使うんだ!」と分かるようにしましょう。

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