逆三角関数のアークタンジェントについて解説します。
正解はどっち?
$\tan^{-1}\left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=$
アークタンジェント(arctan)とは
アークタンジェントとは、逆三角関数と呼ばれる関数の1つで、三角形の辺の比から角度を求める関数です。
例えば\(\tan \theta=x\)とすると、
\(\arctan x=\theta\)の関係になります。
具体例を見てみましょう。
$$\tan \left( \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\arctan \left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\displaystyle \frac{\pi}{6}$$
このように、\(\tan\)(タンジェント)と\(\arctan\)(アークタンジェント)は同じ計算を『角度』から見るか、『辺の比』から見るかの違いがあるだけです。
アークタンジェント(arctan)のグラフ

アークタンジェントのグラフ(\(y=\tan^{-1} x\))は上記のような形になります。
グラフの特徴は3つ!
- 定義域は\(−∞≦x≦∞\)
- \(y\)の範囲(主値)は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
- \(x=1\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
特徴を1つずつ解説していきます。
アークタンジェントの定義域
アークタンジェントの定義域は下記の通りです。
\begin{eqnarray}
\tan^{-1} x &=& \theta\ ,\ −∞≦x≦∞\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\end{eqnarray}
アークタンジェントは\(x\)と\(\theta\)に明確な定義域が存在します。
\(\tan x\)のグラフを見ると分かる通り、
\(y=\tan x\)だと\(−∞≦y≦∞\)になります。

つまり、\(\tan^{-1} x\)のxの範囲は\(−∞≦x≦∞\)となります。
アークタンジェント以外の逆三角関数である、アークサインとアークコサインにも同様に定義域が存在します。
アークタンジェントの\(y\)の範囲(主値)
アークタンジェント(\(y=\tan^{-1}x\))の\(y\)の範囲は\(x\)の定義域によって決定しています。
\(x\)の定義域は\(−∞≦x≦∞\) ですから、\(y=\tan^{-1}x\)より\( -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)が\(y\)の範囲となります。
アークタンジェントの微分
\((\tan^{-1}x)’ = \displaystyle \frac{1}{1+x^2}\)
アークタンジェントの微分の証明
$$y=Tan^{-1}x$$
とすると、これは逆三角関数なので
$$x=\tan y \dots(1)$$
と同じ意味になります。
ここで(1)式の両辺をxで微分します。
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\tan y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\tan y\frac{dy}{dx}\\
1 &=& (1+\tan^2 y) \frac{dy}{dx}\\
\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{1+\tan^2 y}
\end{eqnarray}
となります。
最初に示した通り、この問題は逆三角関数なので
$$y=tan^{-1}x \leftrightarrow x=\tan y$$
この式から\(\tan y=x\)を代入すると、下記のように計算できます。
$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{1+\tan^2 y} \\
&=& \frac{1}{{1-x^2}}\\
\end{eqnarray}$$
微分は以上です。
逆関数の微分法を使うと、もう少し簡単に微分ができます。
\ おすすめの参考書! /
アークタンジェントの積分
$$\displaystyle\int \tan^{-1}xdx=x\tan^{-1}x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)$$
アークタンジェントの積分の証明
部分積分法より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\tan^{-1} xdx &=& \displaystyle\int 1\cdot\tan^{-1} xdx\\
&=& x \tan^{-1} x -\displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{1+x^2}dx\cdots(1)\\
\end{eqnarray}
と変形できる。
ここで\(1+x^2=t\)とおくと、
\(2xdx=dt\leftrightarrow dx=\displaystyle \frac{dt}{2x}\)となる。
(1)に\(t,\ dx\)を代入すると下記の式を得られる。
\begin{eqnarray}
&=& x \tan^{-1} x- \displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\left( \displaystyle \frac{dt}{2x}\right) \\ \\
&=& x \tan^{-1} x- \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{t}dt\\\\
&=& x \tan^{-1} x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(t)\\
&=&x \tan^{-1} x-\displaystyle \frac{1}{2}\log(1+x^2)
\end{eqnarray}
※参考記事
>>アークタンジェントの積分 (arctan) を解説<<
逆三角関数クイズ!
正解はどっち?
$\tan^{-1}\left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=$
よくある質問
- Qアークタンジェントとは?
- A
逆三角関数と呼ばれる関数の1つで、直角三角形の斜辺ではない2辺の比から角度を求める関数です。arctan θやtan-1 θなどと表します。
- Qアークタンジェントを微分するとどうなりますか?
- A
tan^(-1) xをxで微分すると1/(1+x^2)になります。
- Qアークタンジェントを積分するとどうなりますか?
- A
tan^(-1)を積分すると、xtan^{-1}x-log(1+x^2)/2です。
参考動画
最後に参考になる動画を紹介しておきます。
本記事とは切り口が少し違うので、理解が深まると思います。
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