【階乗とは】計算方法をわかりやすく解説|0!=1になる理由も【工学博士監修】

今回は階乗(かいじょう)の解説です!

解説する内容は3点!

  • 階乗とは何か
  • 階乗の計算方法
  • \(0!=1\)になる理由

例題を豊富に使って、わかりやすく解説していきますよ!

トムソン
トムソン

階乗は『場合の数』と『確率』で使います。計算方法をマスターすれば成績UP間違いなし!

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階乗とは

階乗は『数字 or 文字 + !』で表す計算方法です。

ある数字から\(1\)までを全て掛け算することを表しています。

実際の例を見てみましょう。

nの階乗$$n!=n \times(n-1)\times\dots\times2\times1$$

このように\(n\)から\(1\)までの自然数の積をnの階乗と呼びます。

これが\(5!\)なら5の階乗と言い、計算は下記のようになります。

$$5!=5 \times4\times3\times2\times1=120$$

ここからは例題を使って計算方法の理解を深めていきましょう!

階乗の計算方法|例題4問

次の値を求めよ。

(1)\(4!\)

答え:(24)

$$4!=4\times3\times2\times1=24$$

(2)\(6!\)

答え:(720)

$$6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=24$$

(3)$$\frac{9!}{7!}$$

答え:\(72\)
$$\begin{eqnarray}
\frac{9!}{7!}&=&\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}\\&=&9\times8\\&=&72\end{eqnarray}$$

(4)$$\frac{n!}{(n-1)!}$$

答え:\(n\)

$$\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n\times\dots\times1}{(n-1)\times\dots\times1}=n$$

なんとなく階乗について分かってきましたか?

\((3)\)と\((4)\)の問題は、確率で必須のPの計算Cの計算で実際に使われる計算です!

階乗についてわかってきたところで、\(0!\)(\(0\)の階乗)を考えてみましょう。

直観的には、\(0\)になりそうですが、

$$0!=1$$

が答えになります。

トムソン
トムソン

なぜ1になるのか解説しますね!

0の階乗が1になる理由

なぜ\(0!=1\)となるのか・・・

それは、「そう定義した方が色々便利だったから」です!

詳しく説明していきます!

 

例えばさっきの(4)の例題。\(\frac{n!}{(n-1)!}\)の答えはnです。つまり、

n=3なら答えは3

n=100なら答えは100」になります。

では、\(n=1\)ならどうでしょう。

そりゃ答えは1ですよね。

それは、\(0!=1\)だから答えが\(1\)になるのです。

 

では、もし仮に\(0!=0\)だったらと考えてみましょう。

0の階乗を例題で考える

先ほどの例題(4)で\(n=1\)であり、\(0!=0\)だったと仮定して解いてみます。

(4)$$\frac{n!}{(n-1)!}$$

この時、\(n=1\)とすると、

\(\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{1!}{0!}=\frac{1}{0}\)

となります。

分母が\(0\)になるため数学で禁止されています。(※\(n\neq1\)とする)みたいな注意書きが必要になります。

この他にも\(0!=0\)だと色々な注意書きが必要になるのです。

だから昔の偉い数学者が「\(0!=1\)にしようぜ!楽だし^^」と決めたんですね。

多分・・・

階乗|まとめ

階乗について解説しました。

解説した内容

  • 階乗とは何か
  • 階乗の計算方法
  • \(0!=1\)になる理由

少し掛け算がめんどくさいところもありますが、許される場合は電卓を使ってしまいましょう。

トムソン
トムソン

使える道具は使わないと損です!効率的にやるために、許されている場面では電卓はジャンジャン使いましょう。

階乗は組み合わせ順列で使うことになるので、しっかり理解しておきましょう!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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