【階乗とは】計算方法をわかりやすく解説｜0!=1になる理由も【工学博士監修】

今回は階乗（かいじょう）の解説です！

例題を豊富に使って、わかりやすく解説していきますよ！

トムソン

階乗は『場合の数』と『確率』で使います。計算方法をマスターすれば成績UP間違いなし！

階乗とは

階乗は『数字 or 文字 + !』で表す計算方法です。

ある数字から\(1\)までを全て掛け算することを表しています。

実際の例を見てみましょう。

このように\(n\)から\(1\)までの自然数の積をｎの階乗と呼びます。

これが\(5!\)なら5の階乗と言い、計算は下記のようになります。

$$5!=5 \times4\times3\times2\times1=120$$

ここからは例題を使って計算方法の理解を深めていきましょう！

階乗の計算方法｜例題４問

次の値を求めよ。

（１）\(4!\)

（２）\(6!\)

（３）$$\frac{9!}{7!}$$

（４）$$\frac{n!}{(n-1)!}$$

なんとなく階乗について分かってきましたか？

\((3)\)と\((4)\)の問題は、確率で必須のPの計算やCの計算で実際に使われる計算です！

階乗についてわかってきたところで、\(0!\)（\(0\)の階乗）を考えてみましょう。

直観的には、\(0\)になりそうですが、

$$0!=1$$

が答えになります。

トムソン

なぜ1になるのか解説しますね！

0の階乗が1になる理由

なぜ\(0!=1\)となるのか・・・

それは、「そう定義した方が色々便利だったから」です！

詳しく説明していきます！

例えばさっきの（４）の例題。\(\frac{n!}{(n-1)!}\)の答えはｎです。つまり、

「n=3なら答えは3」

「n=100なら答えは100」になります。

では、\(n=1\)ならどうでしょう。

そりゃ答えは1ですよね。

それは、\(0!=1\)だから答えが\(1\)になるのです。

では、もし仮に\(0!=0\)だったらと考えてみましょう。

0の階乗を例題で考える

先ほどの例題（４）で\(n=1\)であり、\(0!=0\)だったと仮定して解いてみます。

（４）$$\frac{n!}{(n-1)!}$$

この時、\(n=1\)とすると、

\(\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{1!}{0!}=\frac{1}{0}\)

となります。

分母が\(0\)になるため数学で禁止されています。（※\(n\neq1\)とする）みたいな注意書きが必要になります。

この他にも\(0!=0\)だと色々な注意書きが必要になるのです。

だから昔の偉い数学者が「\(0!=1\)にしようぜ！楽だし^^」と決めたんですね。

多分・・・

階乗｜まとめ

階乗について解説しました。

少し掛け算がめんどくさいところもありますが、許される場合は電卓を使ってしまいましょう。

トムソン

使える道具は使わないと損です！効率的にやるために、許されている場面では電卓はジャンジャン使いましょう。

階乗は組み合わせや順列で使うことになるので、しっかり理解しておきましょう！