【積分】1/cos^2xを積分する方法２選｜置換積分法と微分を使う

今回は$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} dx$を積分していきます。
置換積分法を使ったテクニックと微分を使って、下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

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※読みやすさの関係上、積分定数の$C$は省略して解説します。

置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法｜不定積分
$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt$

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<

【積分】置換積分法｜不定積分と定積分の公式を紹介【やり方と例題も】

今回のテーマは置換積分法です。置換積分法の公式は下記の通り。置換積分法｜不定積分\(\d...

それでは$\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx$に置換積分法を適用して計算してみましょう。

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$の積分｜置換積分法

$\tan x =t$とおくと、$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$より、
$dx=dt\cdot \cos^2 x$となる。
>>$\tan x$の微分はこちらで解説<<

三角関数の相互関係より$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$であるから
$1+t^2=\displaystyle \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$となる。

つまり、$dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt$である。

$dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt$と、$1+t^2=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$より下記の積分を計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx &=&
\displaystyle\int 1+t^2\cdot \displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\\
&=& \displaystyle\int\displaystyle dt\\
&=& t \\
&=& \tan x
\end{eqnarray}

計算のポイント

今回の積分のポイントは$\tan x=t$とおけるかどうかです。

この置換積分は知っていないとできない方法です。
三角関数の積分の問題が出たときは、$\tan x=t$の置換も可能性として考えておくと良いでしょう。

微分で証明する

最後に、今回の積分を微分を使って証明してみましょう。

$\tan x$の微分が、$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$であれば、

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

を証明できる。

$\tan x$の微分は下記の計算で微分できる。
今回は微分係数を求める方法で微分するが、商の微分公式を使えばもっと簡単に微分できる。
商の微分公式を使った方法は下記の記事を参考にして欲しい。

>>$\tan x$の微分<<

【微分】三角関数と逆三角関数の微分を途中式有りで解説｜sin, cos, tan｜Sin-1, Cos−1, Tan-1【6種類を網羅】

この記事では、三角関数の微分と詳しい解説逆三角関数の微分と詳しい解説を紹介します。...

それでは、$\tan x$を微分していく。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

これに$\tan x$を当てはめます。

ここで、$\tan (x+\Delta x)$があるので加法定理で展開します！

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！«

あとはチャカチャカ計算していきます。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right) \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}=1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$

よって下記の積分が成り立つことが証明された。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

今回は以上です！

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください！

>>【公式】三角関数の積分30選<<