【積分】1/cos^2xを積分する方法2選|置換積分法と微分を使う

今回は\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} dx\)を積分していきます。
置換積分法を使ったテクニックと微分を使って、下記の積分を実施します。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

トムソン
トムソン

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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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置換積分法とは

今回使う積分法は、置換積分法です。
不定積分の置換積分法は下記の通りです。

置換積分法|不定積分
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t) dt\)

置換積分法の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>置換積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx\)に置換積分法を適用して計算してみましょう。

\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)の積分|置換積分法

\(\tan x =t\)とおくと、\(\displaystyle \frac{dt}{dx}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より、
\(dx=dt\cdot \cos^2 x\)となる。
>>\(\tan x\)の微分はこちらで解説<<

三角関数の相互関係より\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)であるから
\(1+t^2=\displaystyle \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)となる。

つまり、\(dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\)である。

\(dx=\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\)と、\(1+t^2=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)より下記の積分を計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx &=&
\displaystyle\int 1+t^2\cdot \displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt\\
&=& \displaystyle\int\displaystyle dt\\
&=& t \\
&=& \tan x
\end{eqnarray}


計算のポイント

今回の積分のポイントは\(\tan x=t\)とおけるかどうかです。

この置換積分は知っていないとできない方法です。
三角関数の積分の問題が出たときは、\(\tan x=t\)の置換も可能性として考えておくと良いでしょう。

微分で証明する

最後に、今回の積分を微分を使って証明してみましょう。

\(\tan x\)の微分が、\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)であれば、

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

を証明できる。

\(\tan x\)の微分は下記の計算で微分できる。
今回は微分係数を求める方法で微分するが、商の微分公式を使えばもっと簡単に微分できる。
商の微分公式を使った方法は下記の記事を参考にして欲しい。

>>\(\tan x\)の微分<<


それでは、\(\tan x\)を微分していく。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

これに\(\tan x\)を当てはめます。

ここで、\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します!

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!«

あとはチャカチャカ計算していきます。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}=1なので\\
&=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\
&=& 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$

よって下記の積分が成り立つことが証明された。

$$\displaystyle\int\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x$$

今回は以上です!

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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